A velocidade do som no ar \left(\rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) é de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para sons de 1000 Hz a amplitude de pressão máxima que o ouvido humano pode suportar é de 28 Pa e, a mínima, de 2,8.10^{-5} \mathrm{~Pa}. a) Qual o módulo de compressão do ar? b) Qual a amplitude de deslocamento correspondente à amplitude máxima? c) E à mínima?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas (a, b e c).
Dados fornecidos:
\rho = 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}},
c = 340\\ \mathrm{m/s},
f = 1000\\ \mathrm{Hz},
a amplitude de pressão máxima é
p_{\max}=28\\ \mathrm{Pa},
e a amplitude de pressão mínima (limiar de audição) é
p_{\min}=2,8\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa}.
Perguntas do enunciado:
a) Qual o módulo de compressão do ar (bulk modulus)?
b) Qual a amplitude de deslocamento das partículas do ar correspondente à amplitude de pressão máxima p_{\max}?
c) Qual a amplitude de deslocamento correspondente à amplitude de pressão mínima p_{\min}?

Passo 2

Entendendo o que é o módulo de compressão e como obtê‑lo a partir da velocidade do som: o módulo de compressão (também chamado de bulk modulus) K relaciona variações de pressão com variações relativas de volume (ou densidade). Para ondas sonoras em um gás ideal e para pequenas perturbações, a velocidade do som c está ligada a K e à densidade \rho pela fórmula
c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.
Essa fórmula significa que quanto maior o módulo de compressão (mais “rígido” é o meio), mais rápido se propaga uma onda de pressão. Isolando K temos a expressão útil para calcular o módulo a partir de c e \rho:
K=\rho\,c^{2}.

Passo 3

Cálculo numérico do módulo de compressão usando os dados:
primeiro calcule c^{2}:
c^{2}=(340)^{2}=115600.
Agora multiplica por \rho:
K=\rho\,c^{2}=1,2\cdot115600=138720\\ \mathrm{Pa}.
Em notação científica isso é
K=1,3872\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondando razoavelmente para duas casas significativas: K\approx1,39\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 4

Agora precisamos relacionar a amplitude de pressão p_{a} com a amplitude de deslocamento s_{0} das partículas do ar. Para uma onda harmônica unidimensional de deslocamento das partículas dada por
u(x,t)=s_{0}\cos(kx-\omega t),
a derivada espacial é
\frac{\partial u}{\partial x}=-k\,s_{0}\sin(kx-\omega t),
logo a amplitude da deformação longitudinal (a magnitude máxima de \partial u/\partial x) é k\,s_{0}. A relação entre pressão e deformação linear é
p=-K\frac{\partial u}{\partial x},
portanto a amplitude da pressão p_{a} satisfaz
p_{a}=K\,k\,s_{0}.
Dessa equação isolamos a amplitude de deslocamento:
s_{0}=\frac{p_{a}}{K\,k}.

Passo 5

Precisamos de k (número de onda). Ele se relaciona com a frequência f e a velocidade c por
\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi f}{c}.
Calculemos numericamente:
\omega=2\pi\cdot1000=2000\pi\\ \mathrm{rad/s}
e
k=\frac{2000\pi}{340}=\frac{1000\pi}{170}\approx18,48\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Cálculo da amplitude de deslocamento para a amplitude de pressão máxima p_{\max}=28\\ \mathrm{Pa}.
Primeiro calcule K\,k:
K\,k=138720\times18,48\approx2{,}563546\times10^{6}\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora
s_{0,\max}=\frac{p_{\max}}{K\,k}=\frac{28}{2{,}563546\times10^{6}}\approx1{,}09\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}.
É útil também expressar em micrômetros:
s_{0,\max}\approx10{,}9\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da amplitude de deslocamento para a amplitude de pressão mínima p_{\min}=2{,}8\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa}.
Usando o mesmo denominador K\,k:
s_{0,\min}=\frac{p_{\min}}{K\,k}=\frac{2{,}8\cdot10^{-5}}{2{,}563546\times10^{6}}\approx1{,}09\cdot10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais intuitivas:
s_{0,\min}\approx10{,}9\\ \mathrm{pm}\quad(\text{pico\\ -metros}),
ou seja cerca de 0{,}0109\\ \mathrm{nm}.

Resposta

a) K=1{,}3872\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}
b) s_{0,\max}\approx1{,}09\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}=10{,}9\\ \mu\mathrm{m}
c) s_{0,\min}\approx1{,}09\cdot10^{-11}\\ \mathrm{m}=10{,}9\\ \mathrm{pm}

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