A equação
indica a pressão em uma onda sonora progressiva. Determine: a) A amplitude de pressão. b) Qual a frequência da onda? c) Qual o comprimento de onda? d) Qual a velocidade de propagação da onda? e) Qual a pressão em
quando
? (H,R&W:18;11P)
Passo 1
O enunciado dá a variação de pressão de uma onda sonora progressiva:
As perguntas são:
a) Qual a amplitude de pressão?
b) Qual a frequência da onda?
c) Qual o comprimento de onda?
d) Qual a velocidade de propagação da onda?
e) Qual a pressão em quando
?
a) Qual a amplitude de pressão?
b) Qual a frequência da onda?
c) Qual o comprimento de onda?
d) Qual a velocidade de propagação da onda?
e) Qual a pressão em
Informações relevantes extraídas do enunciado (já escritas em notação matemática):
Dos coeficientes dentro do seno temos os números
e
multiplicados por
.
Passo 2
Entender a forma padrão de uma onda harmônica progressiva e o significado das grandezas.
Forma padrão (usada em acústica e ondas em geral):
onde:
-
é a amplitude (valor máximo absoluto da pressão), em . -
é o número de onda, em , e relaciona-se ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular, em , e relaciona-se à frequência cíclica por . -
é a frequência em e é o comprimento de onda em . - A velocidade de propagação
satisfaz .
Essas relações são fundamentais: explicam como extrair
,
,
,
,
e
a partir da expressão da onda.
Passo 3
Reescrever o argumento do seno do enunciado na forma
para identificar
e
.
O enunciado tem o argumento
Comparando com
obtemos:
Passo 4
Determinar a amplitude (item a) usando a identificação direta.
Na expressão
o coeficiente multiplicando o seno é a amplitude. Portanto:
Passo 5
Calcular a frequência
(item b) a partir de
.
Usamos
, logo
Explicação rápida:
mede quantos radianos por segundo a fase gira; dividindo por
obtemos ciclos por segundo (Hz).
Passo 6
Calcular o comprimento de onda
(item c) a partir de
.
Usamos
, então
Explicação: o número de onda
é “radianos por metro”; converter para metros por ciclo dá
.
Passo 7
Calcular a velocidade de propagação
(item d). Podemos usar
ou
.
Usando
:
Verificação:
. Ambas as formas coincidem, como deve ser.
Passo 8
Calcular a pressão em
quando
(item e). Vamos avaliar a expressão passo a passo.
Substituindo em
com
e
:
Calcule o interior:
Logo o argumento do seno é
.
Para avaliar
usamos periodicidade e a identidade
onde
é a parte inteira e
a parte fracionária em
. Escrevemos
. Assim
(ímpar) e
. Então
Observação trigonométrica:
e
porque
. O valor numérico é
Portanto
Multiplicando pela amplitude:
Arredondando com sentido prático para três casas significativas:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)