A equação \Delta \mathrm{p}=(1,5 \mathrm{~Pa}) \operatorname{sen} \pi\left[\left(0,9 \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{x}-\left(315 \mathrm{~s}^{-1}\right) \mathrm{t}\right] indica a pressão em uma onda sonora progressiva. Determine: a) A amplitude de pressão. b) Qual a frequência da onda? c) Qual o comprimento de onda? d) Qual a velocidade de propagação da onda? e) Qual a pressão em \mathrm{x}=2 \mathrm{~m} quando \mathrm{t}=2 \mathrm{~s} ? (H,R&W:18;11P)

Passo 1

O enunciado dá a variação de pressão de uma onda sonora progressiva:
\Delta p = (1,5\\ \mathrm{Pa})\sin\pi\big[(0,9\\ \mathrm{m}^{-1})x - (315\\ \mathrm{s}^{-1})t\big].
As perguntas são:
a) Qual a amplitude de pressão?
b) Qual a frequência da onda?
c) Qual o comprimento de onda?
d) Qual a velocidade de propagação da onda?
e) Qual a pressão em x=2\\ \mathrm{m} quando t=2\\ \mathrm{s}?
Informações relevantes extraídas do enunciado (já escritas em notação matemática):
\Delta p = 1,5\\ \mathrm{Pa}\cdot \sin\Big(\pi\big[0,9\,x - 315\,t\big]\Big).
Dos coeficientes dentro do seno temos os números 0,9\\ \mathrm{m}^{-1} e 315\\ \mathrm{s}^{-1} multiplicados por \pi.

Passo 2

Entender a forma padrão de uma onda harmônica progressiva e o significado das grandezas.
Forma padrão (usada em acústica e ondas em geral):
\Delta p = A \sin(kx - \omega t),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo absoluto da pressão), em \mathrm{Pa}.
  • k é o número de onda, em \mathrm{m}^{-1}, e relaciona-se ao comprimento de onda por \displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{s}^{-1}, e relaciona-se à frequência cíclica por \displaystyle \omega=2\pi f.
  • f é a frequência em \mathrm{Hz} e \lambda é o comprimento de onda em \mathrm{m}.
  • A velocidade de propagação v satisfaz \displaystyle v = f\lambda = \frac{\omega}{k}.
Essas relações são fundamentais: explicam como extrair A, k, \omega, f, \lambda e v a partir da expressão da onda.

Passo 3

Reescrever o argumento do seno do enunciado na forma kx-\omega t para identificar k e \omega.
O enunciado tem o argumento
\pi\big[0,9\,x - 315\,t\big] = (0,9\pi)\,x - (315\pi)\,t.
Comparando com kx-\omega t obtemos:
k = 0,9\pi\\ \mathrm{m}^{-1},\qquad \omega = 315\pi\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Determinar a amplitude (item a) usando a identificação direta.
Na expressão \Delta p = (1,5\\ \mathrm{Pa})\sin(\cdots) o coeficiente multiplicando o seno é a amplitude. Portanto:
A = 1,5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a frequência f (item b) a partir de \omega.
Usamos \omega = 2\pi f, logo
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{315\pi}{2\pi} = \frac{315}{2} = 157,5\\ \mathrm{Hz}.
Explicação rápida: \omega mede quantos radianos por segundo a fase gira; dividindo por 2\pi obtemos ciclos por segundo (Hz).

Passo 6

Calcular o comprimento de onda \lambda (item c) a partir de k.
Usamos k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, então
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0,9\pi} = \frac{2}{0,9} = \frac{20}{9}\\ \mathrm{m}\approx 2,22\overline{2}\\ \mathrm{m}.
Explicação: o número de onda k é “radianos por metro”; converter para metros por ciclo dá \lambda.

Passo 7

Calcular a velocidade de propagação v (item d). Podemos usar v=\dfrac{\omega}{k} ou v=f\lambda.
Usando \dfrac{\omega}{k}:
v = \frac{\omega}{k} = \frac{315\pi}{0,9\pi} = \frac{315}{0,9} = 350\\ \mathrm{m/s}.
Verificação: f\lambda = 157,5 \times \dfrac{20}{9} = 157,5 \times 2,\overline{2} = 350\\ \mathrm{m/s}. Ambas as formas coincidem, como deve ser.

Passo 8

Calcular a pressão em x=2\\ \mathrm{m} quando t=2\\ \mathrm{s} (item e). Vamos avaliar a expressão passo a passo.
Substituindo em
\Delta p = 1,5\\ \mathrm{Pa}\cdot \sin\Big(\pi\big[0,9\,x - 315\,t\big]\Big)
com x=2 e t=2:
\Delta p(2,2) = 1,5\\ \mathrm{Pa}\cdot \sin\Big(\pi\big[0,9\cdot 2 - 315\cdot 2\big]\Big).
Calcule o interior:
0,9\cdot 2 - 315\cdot 2 = 1,8 - 630 = -628,2.
Logo o argumento do seno é \pi(-628,2) = -628,2\pi.
Para avaliar \sin(-628,2\pi) usamos periodicidade e a identidade
\sin\big(\pi(m+r)\big) = (-1)^m\sin(\pi r),
onde m é a parte inteira e r a parte fracionária em [0,1). Escrevemos -628,2 = -629 + 0,8. Assim m=-629 (ímpar) e r=0,8. Então
\sin(-628,2\pi) = \sin\big(\pi(-629+0,8)\big) = (-1)^{-629}\sin(0,8\pi) = -\sin(0,8\pi).
Observação trigonométrica: 0,8\pi = \dfrac{4\pi}{5} e \sin\big(\dfrac{4\pi}{5}\big)=\sin\big(\dfrac{\pi}{5}\big) porque \sin(\pi-\theta)=\sin\theta. O valor numérico é
\sin\Big(\frac{\pi}{5}\Big)\approx 0,5877852523.
Portanto
\sin(-628,2\pi) \approx -0,5877852523.
Multiplicando pela amplitude:
\Delta p(2,2) \approx 1,5\\ \mathrm{Pa}\times(-0,5877852523) \approx -0,8816779\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com sentido prático para três casas significativas:
\Delta p(2,2) \approx -0,882\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

a) A=1,5\\ \mathrm{Pa}
b) f=157,5\\ \mathrm{Hz}
c) \lambda=\dfrac{20}{9}\\ \mathrm{m}\approx 2,22\overline{2}\\ \mathrm{m}
d) v=350\\ \mathrm{m/s}
e) \Delta p(2,2)\approx -0,882\\ \mathrm{Pa}

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