A radiância espectral máxima da estrela do Norte ocorre para um comprimento de onda lambda máx =3500 AA ̊á enquanto a mesma quantidade para o Sol ocorre em 5100 AA. Encontre a temperatura do Sol, sabendo que a temperatura da estrela do Norte é de aproximadamente 8300 K. A partir da Lei de Stefan determine a potência radiada por cm^2 dessas estrelas?

Passo 1

Vamos resumir o problema: a estrela do Norte tem sua radiância espectral máxima a um comprimento de onda de 3500 ÅÅ e uma temperatura de aproximadamente 8300 K. Já o Sol tem o seu pico em 5100 ÅÅ. Precisamos encontrar a temperatura do Sol e, usando a Lei de Stefan-Boltzmann, determinar a potência radiada por cm^2 dessas estrelas. Para resolver isso, vamos utilizar duas leis importantes da física: a Lei de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda no qual a radiância atinge o máximo ( lambdamáxá) com a temperatura da estrela (T). A fórmula da Lei de Wien é:
lambdamáx times T = b á
onde b é a constante de Wien, aproximadamente 2,897 times 10^-3 m·K.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Wien para a estrela do Norte. Sabemos que:
lambdamáx = 3500 Å = 3500 times 10^-10 m = 3,5 times 10^-7 m áÅ
Agora, usando a fórmula da Lei de Wien:
3,5 times 10^-7 m times 8300 K = b
Calculando:
b = 3,5 times 10^-7 times 8300 approx 2,905 times 10^-3 m·K
Esse valor está próximo da constante de Wien conhecida ( 2,897 times 10^-3 m·K), confirmando que estamos no caminho certo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a temperatura do Sol usando a mesma Lei de Wien. Sabemos que:
lambdamáx = 5100 Å = 5100 times 10^-10 m = 5,1 times 10^-7 m áÅ
Usando a relação lambdamáx times T = bá:
5,1 times 10^-7 m times TSol = 2,897 times 10^-3 m·K
Isolando TSol:
TSol = 2,897 times 10^-35,1 times 10^-7 approx 5682 K
Portanto, a temperatura do Sol é aproximadamente 5682 K.

Passo 5

Agora que temos as temperaturas, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann para determinar a potência radiada por cm^2 de cada estrela. A fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann é:
P = sigma T^4
onde sigma é a constante de Stefan-Boltzmann, aproximadamente 5,670 times 10^-8 W·m^-2·K^-4.
Como queremos a potência por cm^2, precisamos converter sigma:
1 m^2 = 10^4 cm^2 Rightarrow sigma = 5,670 times 10^-8 W·m^-2·K^-4 = 5,670 times 10^-12 W·cm^-2·K^-4

Passo 6

Vamos calcular a potência radiada pela estrela do Norte:
PNorte = 5,670 times 10^-12 times (8300)^4
Calculando 8300^4:
8300^4 = 4,727 times 10^15
Agora, multiplicando:
PNorte = 5,670 times 10^-12 times 4,727 times 10^15 approx 2,677 times 10^4 W·cm^-2

Passo 7

E para o Sol:
PSol = 5,670 times 10^-12 times (5682)^4
Calculando 5682^4:
5682^4 approx 1,046 times 10^14
Multiplicando:
PSol = 5,670 times 10^-12 times 1,046 times 10^14 approx 5,935 times 10^2 W·cm^-2

Resposta

A temperatura do Sol é aproximadamente 5682 K. A potência radiada por cm^2 é cerca de 2,68 times 10^4 W·cm^-2 para a estrela do Norte e 5,94 times 10^2 W·cm^-2 para o Sol.

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