1. Para uma onda eletromagnética se propagando no vácuo ( \vec{J}=0 e \rho=0 ) onde os campos elétrico e magnético são dados por \vec{E}=\overrightarrow{E_{o}} \exp [\vec{k} \cdot \vec{r}-w t] e \vec{B}= \overrightarrow{B_{o}} \exp [\vec{k} \cdot \vec{r}-w t] respectivamente. Mostre que a direção de propagação de onda ( \vec{k} ) é perpendicular a esses campos.

Passo 1

O enunciado diz que, no vácuo ( \vec{J}=0 e \rho=0), os campos elétrico e magnético são ondas planas:
\vec{E}(\vec{r},t)=\overrightarrow{E_{0}}\,\exp\!\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t\bigr), \qquad \vec{B}(\vec{r},t)=\overrightarrow{B_{0}}\,\exp\!\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t\bigr).
As incógnitas/objetivos que o enunciado pede:
  • Mostrar que a direção de propagação \vec{k} é perpendicular ao campo elétrico \vec{E}.
  • Mostrar que \vec{k} é perpendicular ao campo magnético \vec{B}.
Informações relevantes dadas:
  • \overrightarrow{E_{0}} e \overrightarrow{B_{0}} são vetores constantes (amplitudes).
  • \vec{k} é o vetor de onda (indica direção de propagação).
  • \omega é a frequência angular.
  • Estamos no vácuo, logo \rho=0 e \vec{J}=0.

Passo 2

Vou usar as equações de Maxwell no vácuo (já que \rho=0 e \vec{J}=0). Elas são:
\nabla\cdot\vec{E}=0, \qquad \nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Explicando rápido cada símbolo:
  • \nabla\cdot é a divergência (mede se um campo “aflui” de um ponto).
  • \nabla\times é o rotor (curl), que mede a rotação local do campo.
  • \partial/\partial t é derivada temporal parcial.
  • \mu_0 e \varepsilon_0 são constantes do vácuo; \mu_0\varepsilon_0=1/c^2, onde c é a velocidade da luz.

Passo 3

Calcular a divergência de uma onda plana. Para uma função escalar f(\vec{r},t)=\exp(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t) vale \nabla f=\vec{k}\,f. Como \overrightarrow{E_{0}} é constante:
\nabla\cdot\vec{E}=\nabla\cdot\bigl(\overrightarrow{E_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t}\bigr) = (\nabla e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t})\cdot\overrightarrow{E_{0}} = \vec{k}\cdot\overrightarrow{E_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t}.
Ou seja,
\nabla\cdot\vec{E}=\bigl(\vec{k}\cdot\vec{E}\bigr),
onde, para simplificar, escrevo \vec{E}=\overrightarrow{E_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t}, então o fator exponencial está implícito.

Passo 4

Aplicar a equação de Maxwell \nabla\cdot\vec{E}=0. A partir do passo anterior:
\vec{k}\cdot\vec{E}=0.
Como o fator exponencial nunca é zero, isso implica
\vec{k}\cdot\overrightarrow{E_{0}}=0.
Interpretação direta: \vec{k} é ortogonal a \overrightarrow{E_{0}}, logo \vec{k} é perpendicular ao campo elétrico em toda a onda. Isso já prova a primeira parte.

Passo 5

Repetir o raciocínio para \vec{B}. Análogo ao passo 3:
\nabla\cdot\vec{B}=\nabla\cdot\bigl(\overrightarrow{B_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t}\bigr) = \vec{k}\cdot\overrightarrow{B_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t} = \vec{k}\cdot\vec{B}.
Usando \nabla\cdot\vec{B}=0 (segunda equação de Maxwell no vácuo) segue
\vec{k}\cdot\vec{B}=0,
ou seja \vec{k} é ortogonal a \overrightarrow{B_{0}} e, portanto, ao campo magnético em toda a onda.

Passo 6

Para reforçar a intuição (opcional, mas útil para a prova): usando as equações de curl e o ansatz da onda plana obtém-se relações que mostram a orientação relativa entre \vec{k}, \vec{E} e \vec{B}:
Calcule \nabla\times\vec{E}=\vec{k}\times\vec{E} e \partial_t\vec{B}=-\omega\vec{B}. Então
\vec{k}\times\vec{E}=-\partial_t\vec{B}=\omega\vec{B}.
Analogamente,
\vec{k}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec{E}=-\frac{\omega}{c^2}\vec{E}.
Dessas duas relações segue que \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares e que a direção de propagação \vec{k} tem o mesmo sentido de \vec{E}\times\vec{B} (o produto vetorial aponta para a direção de fluxo de energia). Também a consistência destas equações leva à relação de dispersão |\vec{k}|=\omega/c, mostrando que a onda se propaga à velocidade c.

Resposta

\vec{k}\cdot\vec{E}=0 e \vec{k}\cdot\vec{B}=0

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