Para uma onda eletromagnética se propagando no vácuo ( \vec{J}=0 e \rho=0 ) onde os campos elétrico e magnético são dados por \vec{E}=\overrightarrow{E_{o}} \exp [\vec{k} \cdot \vec{r}-w t] e \vec{B}= \overrightarrow{B_{o}} \exp [\vec{k} \cdot \vec{r}-w t] respectivamente. Mostre que a direção de propagação de onda ( \vec{k} ) é perpendicular a esses campos.
Passo 1
O enunciado diz que, no vácuo (\vec{J}=0 e \rho=0), os campos elétrico e magnético são ondas planas:
\nabla\cdot é a divergência (mede se um campo “aflui” de um ponto).
\nabla\times é o rotor (curl), que mede a rotação local do campo.
\partial/\partial t é derivada temporal parcial.
\mu_0 e \varepsilon_0 são constantes do vácuo; \mu_0\varepsilon_0=1/c^2, onde c é a velocidade da luz.
Passo 3
Calcular a divergência de uma onda plana. Para uma função escalar f(\vec{r},t)=\exp(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t) vale \nabla f=\vec{k}\,f. Como \overrightarrow{E_{0}} é constante:
onde, para simplificar, escrevo \vec{E}=\overrightarrow{E_{0}}\,e^{\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t}, então o fator exponencial está implícito.
Passo 4
Aplicar a equação de Maxwell \nabla\cdot\vec{E}=0. A partir do passo anterior:
\vec{k}\cdot\vec{E}=0.
Como o fator exponencial nunca é zero, isso implica
\vec{k}\cdot\overrightarrow{E_{0}}=0.
Interpretação direta: \vec{k} é ortogonal a \overrightarrow{E_{0}}, logo \vec{k} é perpendicular ao campo elétrico em toda a onda. Isso já prova a primeira parte.
Passo 5
Repetir o raciocínio para \vec{B}. Análogo ao passo 3:
Usando \nabla\cdot\vec{B}=0 (segunda equação de Maxwell no vácuo) segue
\vec{k}\cdot\vec{B}=0,
ou seja \vec{k} é ortogonal a \overrightarrow{B_{0}} e, portanto, ao campo magnético em toda a onda.
Passo 6
Para reforçar a intuição (opcional, mas útil para a prova): usando as equações de curl e o ansatz da onda plana obtém-se relações que mostram a orientação relativa entre \vec{k}, \vec{E} e \vec{B}:
Calcule \nabla\times\vec{E}=\vec{k}\times\vec{E} e \partial_t\vec{B}=-\omega\vec{B}. Então
Dessas duas relações segue que \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares e que a direção de propagação \vec{k} tem o mesmo sentido de \vec{E}\times\vec{B} (o produto vetorial aponta para a direção de fluxo de energia). Também a consistência destas equações leva à relação de dispersão |\vec{k}|=\omega/c, mostrando que a onda se propaga à velocidade c.