Uma onda eletromagnética tem componente elétrica dada por:
com todas as grandezas em SI. (a) Qual é a respectiva componente magnética da onda? (b) Qual o comprimento de onda e qual a frequência? © Qual é o vetor de Poynting?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas eletromagnéticas! A gente tem uma componente elétrica da onda dada por uma expressão matemática e precisa descobrir três coisas: (a) a componente magnética correspondente, (b) o comprimento de onda e a frequência, e © o vetor de Poynting. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas e algumas fórmulas importantes da física.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a componente magnética da onda eletromagnética. Sabemos que em uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, as componentes elétrica (
) e magnética (
) são perpendiculares entre si e também à direção de propagação. Além disso, elas estão relacionadas pela velocidade da luz (
) através da fórmula:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de propagação da onda. No nosso caso, a onda está se propagando ao longo do eixo
porque a função depende de
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para encontrar
. A componente elétrica dada é:
Sabendo que a direção de propagação é
(eixo
), usamos o produto vetorial:
O produto vetorial de
, então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos determinar o comprimento de onda (
) e a frequência (
) da onda. A expressão dentro do cosseno é a fase da onda e tem a forma geral:
Comparando com a nossa expressão:
Então, identificamos:
Sabemos que:
Vamos resolver para
e
:
Para a frequência:
Para o comprimento de onda:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o vetor de Poynting (
), que representa a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética. A fórmula para o vetor de Poynting é:
Onde
é a permeabilidade do vácuo (
).
Vamos fazer o produto vetorial
. Temos:
Calculando o produto:
Sabemos que
, então:
Agora, multiplicando por
:
Simplificando com
, mas para mantermos a expressão em termos de
e
, podemos deixar assim.
Resposta
(a) A componente magnética da onda é:
(b) O comprimento de onda é
e a frequência é
.
© O vetor de Poynting é: