Uma onda eletromagnética tem componente elétrica dada por:
E=(2 V / m) cos [pi times 10^15(t-xc)] k
com todas as grandezas em SI. (a) Qual é a respectiva componente magnética da onda? (b) Qual o comprimento de onda e qual a frequência? © Qual é o vetor de Poynting?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas eletromagnéticas! A gente tem uma componente elétrica da onda dada por uma expressão matemática e precisa descobrir três coisas: (a) a componente magnética correspondente, (b) o comprimento de onda e a frequência, e © o vetor de Poynting. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas e algumas fórmulas importantes da física.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a componente magnética da onda eletromagnética. Sabemos que em uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, as componentes elétrica ( B = 1c n times E ) e magnética ( ) são perpendiculares entre si e também à direção de propagação. Além disso, elas estão relacionadas pela velocidade da luz ( ) através da fórmula:
Aqui, é o vetor unitário na direção de propagação da onda. No nosso caso, a onda está se propagando ao longo do eixo porque a função depende de .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para encontrar E = (2 , V/m) cos[pi times 10^15(t - xc)] k . A componente elétrica dada é:
B = 1c i times E
Sabendo que a direção de propagação é B = 2 , V/mc cos[pi times 10^15(t - xc)] (-j) (eixo B = -2c cos[pi times 10^15(t - xc)] j ), usamos o produto vetorial:
O produto vetorial de , então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos determinar o comprimento de onda ( cos(kx - omega t) ) e a frequência ( pi times 10^15(t - xc) = pi times 10^15 t - pi times 10^15 xc ) da onda. A expressão dentro do cosseno é a fase da onda e tem a forma geral:
k = pi times 10^15c, omega = pi times 10^15
Comparando com a nossa expressão:
omega = 2pi f e k = 2pilambda
Então, identificamos:
f = omega2pi = pi times 10^152pi = 10^152 = 5 times 10^14 , Hz
Sabemos que:
lambda = 2pik = 2pipi times 10^15c = 2c10^15 = 2 times 3 times 10^8 , m/s10^15 = 6 times 10^-7 , m = 600 , nm
Vamos resolver para e :
Para a frequência:
Para o comprimento de onda:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o vetor de Poynting ( S = 1mu0 E times B ), que representa a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética. A fórmula para o vetor de Poynting é:
E = 2 cos[pi times 10^15(t - xc)] k
Onde B = -2c cos[pi times 10^15(t - xc)] j é a permeabilidade do vácuo ( E times B = 2 times (-2c) cos^2[pi times 10^15(t - xc)] k times j ).
Vamos fazer o produto vetorial E times B = -4c cos^2[pi times 10^15(t - xc)] (-i) = 4c cos^2[pi times 10^15(t - xc)] i . Temos:
S = 4c mu0 cos^2[pi times 10^15(t - xc)] i
Calculando o produto:
Sabemos que , então:
Agora, multiplicando por :
Simplificando com , mas para mantermos a expressão em termos de e , podemos deixar assim.

Resposta

(a) A componente magnética da onda é:
B = -2c cos[pi times 10^15(t - xc)] j
(b) O comprimento de onda é S = 4c mu0 cos^2[pi times 10^15(t - xc)] i e a frequência é .
© O vetor de Poynting é:

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