A radiação emitida por um laser não é exatamente um feixe paralelo, mas se espalha sob a forma de um cone com seção transversal circular. O ângulo theta do cone - ângulo completo da divergência do feixe - para um laser de argônio irradiando em 514,4 nm, é apontado para a Lua durante uma experiência. Se o ângulo theta for de 0,88 mu rad, que área da superfície da Lua é iluminada pelo laser?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a área iluminada na Lua por um laser. A gente vai usar conceitos de geometria e trigonometria, mais especificamente sobre a divergência de um feixe de laser que se espalha em forma de cone. Precisamos entender como calcular a área de um círculo na Lua que o feixe do laser toca, usando o ângulo de divergência fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o ângulo de divergência do laser. Esse ângulo, representado por theta, nos diz o quanto o feixe do laser se espalha à medida que viaja. No caso, theta = 0,88 mu rad, que é bem pequeno, indicando que o laser quase mantém seu feixe paralelo por uma longa distância.

Passo 3

Para calcular a área iluminada na Lua, precisamos saber o tamanho do feixe quando ele alcança a Lua. Vamos considerar a distância média da Terra à Lua, que é aproximadamente d = 384.400 km.

Passo 4

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde a distância até a Lua ( d) é um cateto e o raio do feixe na Lua ( r) é o outro cateto. O ângulo no vértice é metade do ângulo de divergência, ou seja, alpha = theta / 2 = 0,44 mu rad.

Passo 5

Usamos a tangente do ângulo alpha para relacionar o raio do feixe com a distância:
tan(alpha) = rd
Como alpha é muito pequeno, podemos usar a aproximação tan(alpha) approx alpha. Então:
r = d times alpha

Passo 6

Agora, vamos converter a distância da Lua para metros:
d = 384.400 km = 384.400 times 10^3 m
E o ângulo alpha para radianos:
alpha = 0,44 mu rad = 0,44 times 10^-6 rad

Passo 7

Calculamos o raio do feixe na Lua:
r = 384.400 times 10^3 m times 0,44 times 10^-6 rad = 169.136 m

Passo 8

Agora que sabemos o raio, podemos calcular a área iluminada na Lua usando a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Substituindo o valor de r:
A = pi times (169.136 m)^2

Passo 9

Calculando a área:
A approx 3,1416 times 28.606.140 m^2 approx 89.883.600 m^2

Resposta

A área da superfície da Lua iluminada pelo laser é aproximadamente 8,99 times 10^7 m^2.

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