Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
y(x, t)=0,08 m \operatorname{sen}\left[\left(\frac{3 \pi}{2} m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(10 \pi s^{-1}\right) t\right]
Qual a velocidade de um ponto da corda em x=2 \mathrm{~m}?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda da corda
y(x,t)=0,08\\ \text{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}\right)x\right]\cos\!\left[\left(10\pi\\ \text{s}^{-1}\right)t\right]
Informações relevantes fornecidas:
A=0,08\\ \text{m},\qquad k=\frac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1},\qquad \omega=10\pi\\ \text{s}^{-1}.
Pergunta do enunciado: qual é a velocidade de um ponto da corda em x=2\\ \text{m}?

Passo 2

O que significa “velocidade de um ponto da corda”: é a velocidade vertical instantânea da partícula da corda localizada em posição x, ou seja a derivada temporal da posição y(x,t). Matemáticamente isso é
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}(x,t).
Agora vou derivar passo a passo usando regras básicas de derivação:
  • A constante multiplicativa sai da derivada.
  • A derivada de \cos(\omega t) em relação a t é -\omega\sin(\omega t) (regra da cadeia; \omega é constante em relação a t).
Aplicando isso à função dada:
\begin{aligned} v(x,t)&=\frac{\partial}{\partial t}\Big[0,08\sin(kx)\cos(\omega t)\Big]\\[4pt] &=0,08\sin(kx)\cdot\frac{d}{dt}\big[\cos(\omega t)\big]\\[4pt] &=0,08\sin(kx)\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big)\\[4pt] &=-0,08\,\omega\,\sin(kx)\sin(\omega t). \end{aligned}
Substituindo \omega=10\pi obtemos
v(x,t)=-0,08\cdot(10\pi)\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}x\right)\sin(10\pi t).
Multiplicando 0,08\cdot10=0,8
v(x,t)=-0{,}8\pi\,\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}x\right)\sin(10\pi t)\quad\text{(em m/s).}]

Passo 3

Agora avalio essa expressão em x=2\\ \text{m}. Primeiro calcule o argumento do seno espacial:
\frac{3\pi}{2}\cdot 2=3\pi.
Conhecemos o valor de \sin(3\pi): como 3\pi=\pi+2\pi, e \sin(\pi+2\pi)=\sin(\pi)=0, segue que
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\cdot 2\right)=\sin(3\pi)=0.
Substituindo em v(x,t):
v(2,t)=-0{,}8\pi\cdot 0\cdot\sin(10\pi t)=0.
Portanto a velocidade é zero para todo instante t.

Passo 4

Como comentário físico (útil na prova): o ponto em x=2\\ \text{m} é um nodo da onda estacionária — sua amplitude é zero em todo tempo. Podemos também verificar a posição:
y(2,t)=0,08\sin(3\pi)\cos(10\pi t)=0,08\cdot 0\cdot\cos(10\pi t)=0,
confirmando que esse ponto não se desloca e, portanto, sua velocidade é sempre nula. Força e calma — nó significa sempre zero movimento aí.

Resposta

v=0\\ \text{m/s}

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