Um fio de arame de comprimento l é dobrado ao meio, formando um ângulo \alpha, e é suspenso pelo vértice, oscilando num plano vertical.
a) (1,0 ponto) Calcule o momento de inércia do arame dobrado.
b) (1,0 ponto) Calcule o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá um fio de arame homogêneo de massa total m e comprimento l, dobrado ao meio formando um “V” de ângulo \alpha no vértice, e suspenso pelo vértice para oscilar num plano vertical.
Conteúdo: momento de inércia de um corpo rígido composto (dois bastõezinhos) em relação ao pivô e período de pequenas oscilações de um pêndulo físico. Vamos usar (1) a fórmula do momento de inércia de um bastão fino de comprimento L e massa M em torno de uma extremidade,
I_{\text{bastão}}=\tfrac{1}{3}M\,L^{2},
(2) o cálculo do centro de massa do “V”, e (3) a fórmula do período para pequenas oscilações,
T=2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}},
onde d é a distância do pivô ao centro de massa.
Passo 2
Cada ramo do “V” é um bastão fino de comprimento L=\tfrac{l}{2} e massa M=\tfrac{m}{2}. Seu momento de inércia em torno da extremidade comum (o vértice) é
Como há dois ramos idênticos, o momento de inércia total vale
I =2\,I_{\text{ramo}} =2\cdot\frac{m\,l^{2}}{24} =\frac{m\,l^{2}}{12}.
Passo 3
Para achar a distância d do pivô ao centro de massa do “V”, note que cada ramo tem seu centro de massa no ponto médio, a distância r=\tfrac{l}{4} do vértice, e que o “V” tem dois desses pontos simetricamente separados por ângulo \alpha.
A resultante vetorial dos dois vetores de módulo r forma ângulo \alpha entre si, logo
Como cada ramo tem massa \tfrac{m}{2}, o centro de massa do conjunto fica em
d =\frac{1}{m}\,\Bigl(\tfrac{m}{2}\Bigr)\,|\vec r_{1}+\vec r_{2}| =\frac{1}{2}\,\frac{l}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr) =\frac{l}{4}\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico em torno do pivô:
T =2\pi\sqrt{\frac{I}{m\,g\,d}} =2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{m\,l^{2}}{12}}{m\,g\,\bigl(\tfrac{l}{4}\cos(\tfrac{\alpha}{2})\bigr)}} =2\pi\sqrt{\frac{l^{2}/12}{(g\,l/4)\,\cos(\tfrac{\alpha}{2})}} =2\pi\sqrt{\frac{l\cos(\tfrac{\alpha}{2})}{3\,g}}.
Resposta
a) \displaystyle I=\frac{m\,l^{2}}{12}.
b) \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l\,\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr)}{3\,g}}.