Uma onda plana uniforme de 50 MHz incide normalmente a partir do ar na superficie de um oceano calmo. Para a água do mar,
e
.
(a) Determine as frações da potência incidente, tanto a refletida quanto a transmitida.
(b) Qualitativamente, como essas respostas mudarão (se é que vão) com o aumento da frequência?
(a) Determine as frações da potência incidente, tanto a refletida quanto a transmitida.
(b) Qualitativamente, como essas respostas mudarão (se é que vão) com o aumento da frequência?
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana uniforme de frequência
que incide normalmente do ar na superfície do oceano calmo. Para a água do mar são fornecidos
e
.
As perguntas são:
(a) determinar as frações da potência incidente que são refletida e transmitida no instante da interface;
(b) explicar qualitativamente como essas frações mudam quando a frequência aumenta.
Dados numéricos principais (explicitados): ,
,
. Vou considerar o ar como meio 1 aproximadamente não condutor com impedância real padrão
e a água do mar como meio 2 com propriedades complexas.
As perguntas são:
(a) determinar as frações da potência incidente que são refletida e transmitida no instante da interface;
(b) explicar qualitativamente como essas frações mudam quando a frequência aumenta.
Dados numéricos principais (explicitados):
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- A resposta do meio condutor é tratada através da permissividade complexa efetiva. A componente imaginária vem da condutividade:
onde
,
é a permissividade do vácuo e
é a unidade imaginária. Aqui
mede a capacidade dielétrica e o segundo termo mede a contribuição dissipativa (corrente ôhmica).
- A impedância intrínseca de um meio (para uma onda plana) pode ser escrita em termos de
e . Uma forma prática para cálculo direto é:
Explicando:
é complexa quando há perda;
é a permeabilidade do vácuo. Para o ar, que é praticamente não condutor e não magnético, tomamos
(frequentemente arredondado para
).
- O coeficiente de reflexão (amplitude) na incidência normal é
e a fração de potência refletida (coeficiente de potência) é
- A fração de potência transmitida (a potência que cruza a superfície para dentro do meio 2) é dada por (fórmula geral válida mesmo para
complexa)
onde
é a parte real. Para o caso de meio 1 não dissipativo
, e verifica-se que
(conservação do fluxo de potência sobre a interface).
- Para discutir penetração/atenuação no condutor usamos a profundidade de penetração (skin depth) na aproximação de bom condutor:
Isto nos diz em que comprimento a amplitude do campo cai por
.
Passo 3
Calcular constantes numéricas iniciais (com contas mostradas):
-
. Vou usar o valor numérico
- Constantes do vácuo:
e . - Calcule
e :
(esse termo tem unidades compatíveis com
quando multiplicado por
).
- Calcule
:
Passo 4
Calcular a impedância do mar
passo a passo:
Usamos
Usamos
Substituindo os números (mostrando a álgebra complexa de divisão):
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador e calculando, obtemos (apenas o resultado numérico aqui):
Agora fazemos a raiz quadrada complexa: magnitude ≈
, ângulo ≈
; sua raiz tem magnitude
e metade do ângulo
. Portanto
A parte real é
e o módulo
. Note que
(água do mar tem impedância muito menor que o ar), o que já sugere forte reflexão.
Passo 5
Calcular o coeficiente de reflexão e as frações de potência:
- Coeficiente de reflexão (amplitude):
Tomando
e
, obtemos numericamente
(mostrando os passos de módulo ao quadrado):
Ou seja a fração de potência refletida é
- A fração de potência transmitida que cruza a superfície é
Calculando com
e
dá
Observação: por conservação de potência sobre a interface temos numericamente
(diferenças são arredondamento). Portanto, na interface cerca de
da potência é refletida e
entra na água.
Passo 6
Calcular a profundidade de penetração (skin depth) para entender o que acontece com a energia que entrou:
Usando
Usando
com os valores acima:
Interpretação física: a energia que entra na água é fortemente atenuada: a amplitude do campo cai por um fator
a cada
. Assim, mesmo os
que entram são rapidamente absorvidos nas primeiras dezenas de centímetros.
Passo 7
Resposta qualitativa para (b) — como as frações mudam com a frequência (explicação passo a passo e intuição):
- Observe os dois regimes que controlam o comportamento: a parte ôhmica (
) e a parte dielétrica ( ). O termo controla a componente imaginária efetiva da permissividade relativa. Quando o meio se comporta como um condutor (domínio ôhmico); quando o meio se comporta mais como um dielétrico. Note que decresce quando a frequência aumenta. - Para frequências maiores que
: o termo ôhmico relativo diminui (porque é dividido por ), então a água fica relativamente menos “dominantemente condutora” e a impedância tende a aumentar (saindo da aproximação estrita de bom condutor). No regime do bom condutor aproximado, , então um aumento de aumenta e reduz ligeiramente a reflexão; no limite alto de frequência (quando o termo dielétrico domina), tende a (um valor finito mais alto que o valor condutor), o que diminui ainda mais a reflexão comparado ao caso muito condutor. Conclusão prática: ao aumentar a frequência, a fração refletida tende a diminuir um pouco e a transmitida a aumentar um pouco (na interface). - Porém, atenção: a profundidade de penetração
(na aproximação de bom condutor) diminui com a frequência. Isso significa que, mesmo que uma parcela um pouco maior da potência possa passar pela interface à medida que sobe, essa potência será mais rapidamente absorvida nas primeiras camadas do mar (penetração mais rasa). Em resumo: mais frequência → ligeiramente mais transmissão na interface, mas maior atenuação (menor penetração) no interior da água. - Portanto qualitativamente: reflexão diminui (transmissão na interface aumenta) com aumento de
, mas a energia transmitida é absorvida mais perto da superfície (menor profundidade de penetração).
Resposta
(a) Fração refletida
(92,6%); fração transmitida
(7,38%).
(b) Ao aumentar a frequência, a reflexão tende a diminuir ligeiramente e a transmissão na interface tende a aumentar ligeiramente; entretanto a profundidade de penetração reduz ( ), de modo que a potência que entra é absorvida mais próximo da superfície.
(b) Ao aumentar a frequência, a reflexão tende a diminuir ligeiramente e a transmissão na interface tende a aumentar ligeiramente; entretanto a profundidade de penetração reduz (