Uma onda plana uniforme de 50 MHz incide normalmente a partir do ar na superficie de um oceano calmo. Para a água do mar, \sigma=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \varepsilon_{\mathrm{r}}^{\prime}=78.
(a) Determine as frações da potência incidente, tanto a refletida quanto a transmitida.
(b) Qualitativamente, como essas respostas mudarão (se é que vão) com o aumento da frequência?

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana uniforme de frequência 50\\ \mathrm{MHz} que incide normalmente do ar na superfície do oceano calmo. Para a água do mar são fornecidos \sigma=4\\ \mathrm{S/m} e \varepsilon_r' = 78.
As perguntas são:
(a) determinar as frações da potência incidente que são refletida e transmitida no instante da interface;
(b) explicar qualitativamente como essas frações mudam quando a frequência aumenta.
Dados numéricos principais (explicitados): f=50\\ \mathrm{MHz}, \sigma=4\\ \mathrm{S/m}, \varepsilon_r'=78. Vou considerar o ar como meio 1 aproximadamente não condutor com impedância real padrão \eta_1 e a água do mar como meio 2 com propriedades complexas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A resposta do meio condutor é tratada através da permissividade complexa efetiva. A componente imaginária vem da condutividade:
\tilde{\varepsilon}_r \;=\; \varepsilon_r' \;-\; j\,\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0},
onde \omega=2\pi f, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e j é a unidade imaginária. Aqui \varepsilon_r' mede a capacidade dielétrica e o segundo termo mede a contribuição dissipativa (corrente ôhmica).
  • A impedância intrínseca de um meio (para uma onda plana) pode ser escrita em termos de \mu e \varepsilon. Uma forma prática para cálculo direto é:
\eta_2 \;=\; \sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma + j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r'}}.
Explicando: \eta_2 é complexa quando há perda; \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Para o ar, que é praticamente não condutor e não magnético, tomamos \eta_1 \approx \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 376{,}7\\ \Omega (frequentemente arredondado para 377\\ \Omega).
  • O coeficiente de reflexão (amplitude) na incidência normal é
\Gamma \;=\; \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1},
e a fração de potência refletida (coeficiente de potência) é
R \;=\; |\Gamma|^2.
  • A fração de potência transmitida (a potência que cruza a superfície para dentro do meio 2) é dada por (fórmula geral válida mesmo para \eta_2 complexa)
T \;=\; \frac{4\,\Re(\eta_1)\,\Re(\eta_2)}{|\eta_1 + \eta_2|^2},
onde \Re(\cdot) é a parte real. Para o caso de meio 1 não dissipativo \Re(\eta_1)=\eta_1, e verifica-se que R+T=1 (conservação do fluxo de potência sobre a interface).
  • Para discutir penetração/atenuação no condutor usamos a profundidade de penetração (skin depth) na aproximação de bom condutor:
\delta \;=\; \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}.
Isto nos diz em que comprimento a amplitude do campo cai por 1/e.

Passo 3

Calcular constantes numéricas iniciais (com contas mostradas):
  • \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50\times 10^{6}\\ \mathrm{rad/s}. Vou usar o valor numérico
\omega \approx 3{,}14159265\times 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Constantes do vácuo: \varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}25663706\times 10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Calcule \omega\varepsilon_0 e \omega\varepsilon_0\varepsilon_r':
\omega\varepsilon_0 \approx 3{,}14159265\times 10^{8}\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12}\approx 2{,}7810\times 10^{-3},
\omega\varepsilon_0\varepsilon_r' \approx 2{,}7810\times 10^{-3}\cdot 78 \approx 0{,}2169\\ \mathrm{S/m\\ equivalent}.
(esse termo tem unidades compatíveis com \sigma quando multiplicado por j).
  • Calcule \omega\mu_0:
\omega\mu_0 \approx 3{,}14159265\times 10^{8}\cdot 1{,}25663706\times 10^{-6}\approx 394{,}784.

Passo 4

Calcular a impedância do mar \eta_2 passo a passo:
Usamos
\eta_2 = \sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma + j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r'}}.
Substituindo os números (mostrando a álgebra complexa de divisão):
\frac{j\omega\mu_0}{\sigma + j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r'} \;=\; \frac{j\,394{,}784}{4 + j\,0{,}2169}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador e calculando, obtemos (apenas o resultado numérico aqui):
\frac{j\omega\mu_0}{\sigma + j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r'} \approx 5{,}335 + j\,98{,}44.
Agora fazemos a raiz quadrada complexa: magnitude ≈ 98{,}59, ângulo ≈ 86{,}90^\circ; sua raiz tem magnitude \sqrt{98{,}59}\approx 9{,}929 e metade do ângulo \approx 43{,}45^\circ. Portanto
\eta_2 \approx 7{,}21 + j\,6{,}83\\ \Omega.
A parte real é \Re(\eta_2)\approx 7{,}21\\ \Omega e o módulo |\eta_2|\approx 9{,}93\\ \Omega. Note que \eta_2\ll\eta_1 (água do mar tem impedância muito menor que o ar), o que já sugere forte reflexão.

Passo 5

Calcular o coeficiente de reflexão e as frações de potência:
  • Coeficiente de reflexão (amplitude):
\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1}.
Tomando \eta_1\approx 376{,}7\\ \Omega e \eta_2\approx 7{,}21 + j6{,}83\\ \Omega, obtemos numericamente |\Gamma|^2 (mostrando os passos de módulo ao quadrado):
|\Gamma|^2 \approx 0{,}9262.
Ou seja a fração de potência refletida é
R \approx 0{,}926 \quad\text{(ou seja, }92{,}6\%\text{)}.
  • A fração de potência transmitida que cruza a superfície é
T \;=\; \frac{4\,\Re(\eta_1)\,\Re(\eta_2)}{|\eta_1+\eta_2|^2}.
Calculando com \Re(\eta_1)=376{,}7 e \Re(\eta_2)=7{,}21
T \approx 0{,}0738 \quad\text{(ou seja, }7{,}38\%\text{)}.
Observação: por conservação de potência sobre a interface temos numericamente R+T\approx 1 (diferenças são arredondamento). Portanto, na interface cerca de 92{,}6\% da potência é refletida e 7{,}4\% entra na água.

Passo 6

Calcular a profundidade de penetração (skin depth) para entender o que acontece com a energia que entrou:
Usando
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}},
com os valores acima:
\delta \approx \sqrt{\frac{2}{3{,}14159265\times 10^{8}\cdot 1{,}25663706\times 10^{-6}\cdot 4}} \approx 0{,}0356\\ \mathrm{m} \approx 3{,}56\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física: a energia que entra na água é fortemente atenuada: a amplitude do campo cai por um fator 1/e a cada \approx 3{,}6\\ \mathrm{cm}. Assim, mesmo os 7{,}4\% que entram são rapidamente absorvidos nas primeiras dezenas de centímetros.

Passo 7

Resposta qualitativa para (b) — como as frações mudam com a frequência (explicação passo a passo e intuição):
  • Observe os dois regimes que controlam o comportamento: a parte ôhmica ( \sigma) e a parte dielétrica ( \omega\varepsilon_0\varepsilon_r'). O termo \frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0} controla a componente imaginária efetiva da permissividade relativa. Quando \sigma/(\omega\varepsilon_0)\gg\varepsilon_r' o meio se comporta como um condutor (domínio ôhmico); quando \sigma/(\omega\varepsilon_0)\ll\varepsilon_r' o meio se comporta mais como um dielétrico. Note que \sigma/(\omega\varepsilon_0) decresce quando a frequência \omega aumenta.
  • Para frequências maiores que 50\\ \mathrm{MHz}: o termo ôhmico relativo diminui (porque é dividido por \omega), então a água fica relativamente menos “dominantemente condutora” e a impedância \eta_2 tende a aumentar (saindo da aproximação estrita de bom condutor). No regime do bom condutor aproximado, |\eta_2|\propto \sqrt{\omega}, então um aumento de f aumenta |\eta_2| e reduz ligeiramente a reflexão; no limite alto de frequência (quando o termo dielétrico domina), \eta_2 tende a \sqrt{\mu_0/(\varepsilon_0\varepsilon_r')} (um valor finito mais alto que o valor condutor), o que diminui ainda mais a reflexão comparado ao caso muito condutor. Conclusão prática: ao aumentar a frequência, a fração refletida tende a diminuir um pouco e a transmitida a aumentar um pouco (na interface).
  • Porém, atenção: a profundidade de penetração \delta \propto 1/\sqrt{\omega} (na aproximação de bom condutor) diminui com a frequência. Isso significa que, mesmo que uma parcela um pouco maior da potência possa passar pela interface à medida que f sobe, essa potência será mais rapidamente absorvida nas primeiras camadas do mar (penetração mais rasa). Em resumo: mais frequência → ligeiramente mais transmissão na interface, mas maior atenuação (menor penetração) no interior da água.
  • Portanto qualitativamente: reflexão diminui (transmissão na interface aumenta) com aumento de f, mas a energia transmitida é absorvida mais perto da superfície (menor profundidade de penetração).

Resposta

(a) Fração refletida R\approx 0{,}926 (92,6%); fração transmitida T\approx 0{,}0738 (7,38%).
(b) Ao aumentar a frequência, a reflexão tende a diminuir ligeiramente e a transmissão na interface tende a aumentar ligeiramente; entretanto a profundidade de penetração reduz ( \delta\propto 1/\sqrt{\omega}), de modo que a potência que entra é absorvida mais próximo da superfície.

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