Uma onda progressiva com amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} e potência média de 36,8 \mathrm{~W} esta se propagando em uma corda (de 2,70 \mathrm{~m} de comprimento, massa de 260 g ) submetida a uma tensão de 36,0 \mathrm{~N}.
Qual o número de onda?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o número de onda?” — ou seja, encontrar k da onda que está se propagando na corda.
Informações fornecidas (vou listar todas explicitamente):
\begin{aligned} &A=7{,}70\\ \mathrm{mm}=7{,}70\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ &P_{\text{média}}=36{,}8\\ \mathrm{W},\\\ &L=2{,}70\\ \mathrm{m},\\\ &m=260\\ \mathrm{g}=0{,}260\\ \mathrm{kg},\\\ &T=36{,}0\\ \mathrm{N}. \end{aligned}é
Vou usar que a corda é uniforme, logo a massa por unidade de comprimento é \mu=m/L.
Não há outras informações (por exemplo frequência ou comprimento de onda) explícitas no enunciado.

Passo 2

Fórmula que relaciona potência média transportada por uma onda transversal numa corda à amplitude, frequência (ou pulsação), densidade linear e velocidade:
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}A^{2}v.é
Explicando cada símbolo:
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (kg/m).
  • \omega é a pulsação angular da onda (rad/s).
  • A é a amplitude da onda (m).
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda (m/s).
    Essa fórmula vem da energia cinética e potencial média por comprimento transportada por uma onda senoidal e do fato de que a energia se propaga com velocidade v. Não vou derivar toda a expressão aqui, mas o uso é padrão em ondas em corda.
Também sabemos que a velocidade v de ondas numa corda tensionada é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão da corda (N).
E o número de onda k está relacionado com \omega e v por
\omega = v\,k \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.

Passo 3

Vou calcular a massa linear \mu:
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}260\\ \mathrm{kg}}{2{,}70\\ \mathrm{m}}=0{,}096296296\\ \mathrm{kg/m}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular a velocidade v usando v=\sqrt{T/\mu}:
v=\sqrt{\frac{36{,}0}{0{,}096296296}}=\sqrt{373{,}5}=19{,}327\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Reescrever a fórmula da potência em termos de k. Substituo \omega = v k em
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}A^{2}vé
para obter
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\,\mu\,(v k)^{2}A^{2}v=\frac{1}{2}\,\mu\,A^{2}\,v^{3}\,k^{2}.é
Isolando k:
k=\sqrt{\frac{2P_{\text{média}}}{\mu\,A^{2}\,v^{3}}}.é

Passo 6

Agora faço as substituições numéricas. Primeiro A^{2}:
A^{2}=(7{,}70\times 10^{-3})^{2}=5{,}929\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}.
Calculando v^{3}:
v^{3}=(19{,}327)^{3}\approx 7{,}218{,}72\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{3}.
Produto \mu A^{2} v^{3}:
\mu A^{2} v^{3}\approx 0{,}096296296\cdot 5{,}929\times 10^{-5}\cdot 7{,}218{,}72 \approx 0{,}0412001.
Agora
k=\sqrt{\frac{2\cdot 36{,}8}{0{,}0412001}}=\sqrt{1785{,}83}\approx 42{,}27\\ \mathrm{rad/m}.

Resposta

42{,}3\\ \mathrm{rad/m}

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