Uma onda se propaga em uma corda muito comprida. A onda é expressa pela função: y(x, t)=5 sen[2 pi x+8 pi t]m, s
Qual a expressão de uma segunda onda que deve ser adicionada a primeira para produzir uma onda resultante expressa por y(x, t)=3 sen[2 pi x+8 pi t+varphi]m, s. Calcule o valor de varphi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda que se propaga em uma corda muito comprida, expressa pela função $ y_1(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $ com unidades em metros e segundos. A questão quer saber qual é a expressão de uma segunda onda que, quando adicionada a essa primeira, resulta em uma onda final $ y(x, t) = 3 \sin(2\pi x + 8\pi t + \varphi) $. Além disso, precisamos calcular o valor de $ \varphi $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e a soma de senos com a mesma frequência e número de onda, mas possivelmente com diferentes amplitudes e fases. Vamos dividir a resolução em passos para deixar tudo bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando adicionamos duas ondas que têm a mesma frequência e número de onda, podemos usar a fórmula da soma de funções seno. Isso nos ajuda a encontrar a onda resultante em termos da amplitude e da fase.
Temos:
y1(x, t) = 5 sin(2pi x + 8pi t)
y2(x, t) = A sin(2pi x + 8pi t + de
Queremos que:
y1(x, t) + y2(x, t) = 3 sin(2pi x + 8pi t + varphi)
Aqui, $ A $ é a amplitude da segunda onda e $ \delta $ é sua diferença de fase em relação à primeira onda.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica para somar os dois senos:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aplicando isso às nossas ondas:
5 sin(theta) + A sin(theta + de
onde $ \theta = 2\pi x + 8\pi t $.

Passo 4

Para que a soma das duas ondas resulte exatamente na onda desejada, as amplitudes e as fases devem obedecer certas condições. Vamos igualar as amplitudes e as fases:
  1. Amplitude Resultante:
5 + A cos(de
Aqui, $ 5 $ é a amplitude da primeira onda, $ A \cos(\delta) $ é a componente da amplitude devido à segunda onda na mesma fase, e $ 3 $ é a amplitude da onda resultante.
  1. Diferença de Fase:
5
Isso porque, para que a direção da onda resultante seja apenas A cos(de, a componente perpendicular das amplitudes deve cancelar.

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. Da segunda equação $ A \sin(\delta) = 0 $, concluímos que $ \sin(\delta) = 0 $. Isso significa que $ \delta = 0 $ ou $ \delta = \pi $.
  2. Substituindo na primeira equação:
    • Se $ \delta = 0 $: A sin(de
    • Se $ \delta = \pi $: sin(de
    A amplitude $ A $ não pode ser negativa, então descartamos $ A = -2 $.
Portanto, a segunda onda deve ter amplitude $ A = 2 $ e diferença de fase $ \delta = \pi $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de $ \varphi varphi ã \delta = \pi $), a fase da onda resultante $ \varphi $ será afetada pela diferença de fase das ondas que foram somadas.
Como a segunda onda está em oposição de fase ($ \pi $), a fase da onda resultante será:
de

Resposta

A segunda onda que deve ser adicionada é $ y_2(x, t) = 2 \sin(2\pi x + 8\pi t + \pi) $, e o valor de $ \varphi $ é $ \pi $ radianos.

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