Uma onda se propaga em uma corda muito comprida. A onda é expressa pela função:
Qual a expressão de uma segunda onda que deve ser adicionada a primeira para produzir uma onda resultante expressa por
. Calcule o valor de
.
Qual a expressão de uma segunda onda que deve ser adicionada a primeira para produzir uma onda resultante expressa por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda que se propaga em uma corda muito comprida, expressa pela função $ y_1(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $ com unidades em metros e segundos. A questão quer saber qual é a expressão de uma segunda onda que, quando adicionada a essa primeira, resulta em uma onda final $ y(x, t) = 3 \sin(2\pi x + 8\pi t + \varphi) $. Além disso, precisamos calcular o valor de $ \varphi $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e a soma de senos com a mesma frequência e número de onda, mas possivelmente com diferentes amplitudes e fases. Vamos dividir a resolução em passos para deixar tudo bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando adicionamos duas ondas que têm a mesma frequência e número de onda, podemos usar a fórmula da soma de funções seno. Isso nos ajuda a encontrar a onda resultante em termos da amplitude e da fase.
Temos:
Queremos que:
Aqui, $ A $ é a amplitude da segunda onda e $ \delta $ é sua diferença de fase em relação à primeira onda.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica para somar os dois senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
onde $ \theta = 2\pi x + 8\pi t $.
Passo 4
Para que a soma das duas ondas resulte exatamente na onda desejada, as amplitudes e as fases devem obedecer certas condições. Vamos igualar as amplitudes e as fases:
- Amplitude Resultante:
Aqui, $ 5 $ é a amplitude da primeira onda, $ A \cos(\delta) $ é a componente da amplitude devido à segunda onda na mesma fase, e $ 3 $ é a amplitude da onda resultante.
- Diferença de Fase:
Isso porque, para que a direção da onda resultante seja apenas
, a componente perpendicular das amplitudes deve cancelar.
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
-
Da segunda equação $ A \sin(\delta) = 0 $, concluímos que $ \sin(\delta) = 0 $. Isso significa que $ \delta = 0 $ ou $ \delta = \pi $.
-
Substituindo na primeira equação:
- Se $ \delta = 0 $:
- Se $ \delta = \pi $:
A amplitude $ A $ não pode ser negativa, então descartamos $ A = -2 $. - Se $ \delta = 0 $:
Portanto, a segunda onda deve ter amplitude $ A = 2 $ e diferença de fase $ \delta = \pi $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de $ \varphi
\delta = \pi $), a fase da onda resultante $ \varphi $ será afetada pela diferença de fase das ondas que foram somadas.
Como a segunda onda está em oposição de fase ($ \pi $), a fase da onda resultante será:
Resposta
A segunda onda que deve ser adicionada é $ y_2(x, t) = 2 \sin(2\pi x + 8\pi t + \pi) $, e o valor de $ \varphi $ é $ \pi $ radianos.