Uma onda se propaga em uma corda muito comprida. A onda é expressa pela função: y(x, t)=5 sen[2 pi x+8 pi t]m, s
Esta onda estacionária pode ser aplicada no caso de uma corda presa nas duas extremidades (cordas de instrumentos musicais), qual deve ser o tamanho mínimo desta corda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma onda que se move em uma corda muito comprida, dada pela função $ y(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $ (em metros e segundos). A onda estacionária acontece quando a corda está presa nas duas extremidades, como nas cordas de instrumentos musicais. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento mínimo dessa corda para que a onda estacionária exista.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função da onda: $ y(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $. Aqui, o termo dentro do seno, $ 2\pi x + 8\pi t y(x, t) = 5 sin(2pi x + 8pi t) ú k 2pi x + 8pi t ê \omega $).

Passo 3

Comparando com a forma geral da função de onda $ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t) $, percebemos que:
  • $ k = 2\pi $ rad/m
  • $ \omega = -8\pi $ rad/s
O sinal negativo da $ \omega $ indica a direção de propagação, mas para o cálculo do comprimento mínimo, isso não interfere.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $) usando a relação:
lambda
Substituindo o valor de $ k $:
lambda = 2pik

Passo 5

Para uma onda estacionária numa corda fixa em ambas as extremidades, o comprimento mínimo da corda corresponde a meia onda ($ \frac{\lambda}{2} $). Ou seja:
lambda2
Substituindo $ \lambda = 1 , m $:
Lmin = lambda2

Resposta

O comprimento mínimo da corda é de 0,5 metros.

Exercícios relacionados