Uma onda se propaga em uma corda muito comprida. A onda é expressa pela função:
Esta onda estacionária pode ser aplicada no caso de uma corda presa nas duas extremidades (cordas de instrumentos musicais), qual deve ser o tamanho mínimo desta corda?
Esta onda estacionária pode ser aplicada no caso de uma corda presa nas duas extremidades (cordas de instrumentos musicais), qual deve ser o tamanho mínimo desta corda?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma onda que se move em uma corda muito comprida, dada pela função $ y(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $ (em metros e segundos). A onda estacionária acontece quando a corda está presa nas duas extremidades, como nas cordas de instrumentos musicais. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento mínimo dessa corda para que a onda estacionária exista.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função da onda: $ y(x, t) = 5 \sin(2\pi x + 8\pi t) $. Aqui, o termo dentro do seno, $ 2\pi x + 8\pi t
k
\omega $).
Passo 3
Comparando com a forma geral da função de onda $ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t) $, percebemos que:
- $ k = 2\pi $ rad/m
- $ \omega = -8\pi $ rad/s
O sinal negativo da $ \omega $ indica a direção de propagação, mas para o cálculo do comprimento mínimo, isso não interfere.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $) usando a relação:
Substituindo o valor de $ k $:
Passo 5
Para uma onda estacionária numa corda fixa em ambas as extremidades, o comprimento mínimo da corda corresponde a meia onda ($ \frac{\lambda}{2} $). Ou seja:
Substituindo $ \lambda = 1 , m $:
Resposta
O comprimento mínimo da corda é de 0,5 metros.