Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equaçāo:
y(x, t)=0,00327 sen(72,1 x-2,72 t) ,
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI(0,00327 m ; 72,1 rad / me e 2,72 rad / s ). (a) Calcule quais são o comprimento de onda e a frequência da onda; (b) Calcule qual é a velocidade da onda; calcule, para x=22,5 cm e t=18,9 s, qual é o © deslocamento transversal y e a (d) velocidade transversal u desse elemento da corda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda que se propaga em uma corda, descrita pela equação:
y(x, t) = 0,00327 , sin(72,1 , x - 2,72 , t)
Estamos trabalhando com o conteúdo de ondas, especificamente ondas mecânicas em uma corda. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como comprimento de onda, frequência, velocidade da onda, deslocamento transversal e velocidade transversal. Vamos por partes!

Passo 2

(a) Calculando o Comprimento de Onda ( lambda) e a Frequência ( f)

Comprimento de Onda ( lambda)
A equação da onda está na forma $ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t) $, onde:
  • $ k $ é o número de onda (72,1 rad/m)
  • $ \omega $ é a frequência angular (2,72 rad/s)
O comprimento de onda ( y(x, t) = A sin(kx - omega t) ) está relacionado ao número de onda pela fórmula:
k
Substituindo $ k = 72,1 , rad/m $:
omega
Frequência ( lambda)
A frequência ( lambda = 2pik ) está relacionada à frequência angular ( k = 72,1 , rad/m ) pela fórmula:
lambda = 2pi72,1 approx 6,283272,1 approx 0,0872 , m
Substituindo $ \omega = 2,72 , rad/s $:
f

Passo 3

(b) Calculando a Velocidade da Onda ( v)

A velocidade da onda ( v) pode ser calculada utilizando a relação entre frequência e comprimento de onda:
v = lambda times f
Usando os valores que encontramos:
v = 0,0872 , m times 0,432 , Hz approx 0,0377 , m/s

Passo 4

© Calculando o Deslocamento Transversal ( y) para x = 22,5 , cm e t = 18,9 , s

Primeiro, convertemos x para metros:
x = 22,5 , cm = 0,225 , m
Agora, substituímos os valores na equação da onda:
y(x, t) = 0,00327 , sin(72,1 times 0,225 - 2,72 times 18,9)
Calculando os argumentos:
72,1 times 0,225 = 16,2225 , rad
2,72 times 18,9 = 51,328 , rad
16,2225 - 51,328 = -35,1055 , rad
Agora, calculamos o seno:
sin(-35,1055) approx sin( -35,1055 + 11 times 2pi ) (porque o seno é periódico com período 2pi) éóí
sin(-35,1055) approx sin(-35,1055 + 69,115) = sin(34,0095) approx -0,529
Então:
y = 0,00327 times (-0,529) approx -0,00173 , m = -1,73 , mm

Passo 5

(d) Calculando a Velocidade Transversal ( u) para x = 22,5 , cm e t = 18,9 , s

A velocidade transversal ( u) é dada pela derivada do deslocamento em relação ao tempo:
u(x, t) = partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t)
Substituindo os valores:
u = -0,00327 times 2,72 times cos(72,1 times 0,225 - 2,72 times 18,9)
Já calculamos o argumento do cosseno no passo anterior:
cos(-35,1055) = cos(34,0095) approx 0,848
Então:
u = -0,00327 times 2,72 times 0,848 approx -0,00756 , m/s

Resposta

(a) Comprimento de onda ( lambda): aproximadamente 0,0872 metros; Frequência ( f): aproximadamente 0,432 Hz
(b) Velocidade da onda ( v): aproximadamente 0,0377 m/s
© Deslocamento transversal ( y) em x = 22,5 , cm e t = 18,9 , s: -1,73 mm
(d) Velocidade transversal ( u) nesse ponto: -0,00756 m/s

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