Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(k, t)=0,0236 sen (60,3 x-3,90 t), onde as constantes estão em unidades do S.I. Qual é o comprimento, o período e a frequência da onda?

Passo 1

O enunciado dá a equação de uma onda que se propaga numa corda:
y(x,t)=0,0236\sin\bigl(60,3\,x-3,90\,t\bigr),
com todas as constantes em unidades do SI. As perguntas são:
  • Qual é o comprimento de onda?
  • Qual é o período?
  • Qual é a frequência?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude é \,0,0236\\ \text{m} (não pedida, mas visível na equação).
  • O coeficiente que multiplica x é 60,3 (unidade: \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}).
  • O coeficiente que multiplica t é 3,90 (unidade: \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}).

Passo 2

Vamos recordar a forma padrão e as fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
A forma geral de uma onda harmônica progressiva é
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (em metros), o máximo deslocamento da corda;
  • k é o número de onda (unidade: \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}); ele indica quantos radianos de fase existem por metro;
  • \omega é a frequência angular (unidade: \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}); ela indica quantos radianos a fase avança por segundo;
  • x é a posição (em metros) e t é o tempo (em segundos).
As relações fundamentais entre essas grandezas e as que queremos obter são:
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k},
\omega=2\pi f\quad\Rightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi},
T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros);
  • f é a frequência (em hertz, \text{Hz});
  • T é o período (em segundos).
Essas fórmulas vêm da definição de que uma onda completa corresponde a variação de fase de 2\pi radianos: em espaço isso dá k\lambda=2\pi e em tempo \omega T=2\pi.

Passo 3

Identificamos os parâmetros na equação dada comparando com A\sin(kx-\omega t):
k=60,3\quad\bigl(\text{rad}\cdot\text{m}^{-1}\bigr), \qquad \omega=3,90\quad\bigl(\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\bigr).

Passo 4

Calcular o comprimento de onda usando \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
Primeiro, escrever 2\pi numericamente (mantendo precisão suficiente):
2\pi\approx6,2831853.
Agora dividir por k=60,3:
\lambda=\frac{2\pi}{k}\approx\frac{6,2831853}{60,3}.
Fazendo a divisão:
\lambda\approx0,1042\\ \text{m}.
Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos) obtemos
\lambda\approx0,104\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular o período usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Sabendo 2\pi\approx6,2831853 e \omega=3,90:
T=\frac{2\pi}{\omega}\approx\frac{6,2831853}{3,90}.
Fazendo a divisão:
T\approx1,6103\\ \text{s}.
Arredondando a três algarismos significativos:
T\approx1,61\\ \text{s}.

Passo 6

Calcular a frequência usando f=\dfrac{1}{T} ou f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}:
f=\frac{3,90}{6,2831853}\approx0,6209\\ \text{Hz}.
Arredondando a três algarismos significativos:
f\approx0,621\\ \text{Hz}.

Passo 7

Pequena verificação por consistência: f=\dfrac{1}{T} com T\approx1,61\\ \text{s} f\approx0,621\\ \text{Hz}, compatível com o cálculo direto, logo os resultados estão coerentes.

Resposta

\lambda\approx0,104\\ \text{m}
T\approx1,61\\ \text{s}
f\approx0,621\\ \text{Hz}

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