Uma onda que se propaga ao longo de uma corda é descrita por y(x, t)=a sen ( pi b x+ q t ), com a=30 mm, b=0,33 m^-1 e q=10,47 s^-1.
Calcule a amplitude, o comprimento de onda, o período e a velocidade da onda.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre ondas em uma corda. A questão nos dá a equação da onda:
y(x, t) = a cdot sin(pi b x + q t)
onde $ a = 30 , mm $, $ b = 0,33 , m^{-1} $ e $ q = 10,47 , s^{-1} $. Nosso objetivo é encontrar a amplitude, o comprimento de onda, o período e a velocidade dessa onda. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de ondas, como amplitude, comprimento de onda, frequência e velocidade.

Passo 2

Amplitude ($ a $): A amplitude é a altura máxima que a onda atinge a partir da posição de equilíbrio. Na equação dada, a amplitude já está especificada como $ a = 30 , mm $. Então, já temos esse valor direto.

Passo 3

Comprimento de Onda ($ \lambda $): O comprimento de onda é a distância entre dois pontos correspondentes em ondas consecutivas, como de crista a crista ou de vale a vale.
Na nossa equação da onda, o termo dentro do seno é $ \pi b x + q t $. Comparando com a forma geral da equação da onda $ y(x, t) = a \cdot \sin(kx - \omega t) $, onde $ k $ é o número de onda, podemos identificar que:
lambda
Sabemos que o comprimento de onda $ \lambda $ está relacionado ao número de onda pela fórmula:
pi b x + q t
Substituindo $ k = \pi b $:
y(x, t) = a cdot sin(kx - omega t)
Agora, substituindo $ b = 0,33 , m^{-1} $:
k

Passo 4

Período ($ T $): O período é o tempo que a onda leva para completar um ciclo.
Na equação da onda, o termo que envolve o tempo é $ q t $. Comparando com a forma geral $ \omega t $, onde $ \omega $ é a frequência angular, temos:
T
O período $ T $ está relacionado à frequência angular pela fórmula:
q t
Substituindo $ \omega = q = 10,47 , s^{-1} $:
omega t

Passo 5

Velocidade da Onda ($ v $): A velocidade da onda indica quão rápido a onda se propaga pelo meio.
Podemos calcular a velocidade de duas maneiras. Uma delas é usando a relação entre comprimento de onda e período:
v
Já temos $ \lambda \approx 6,06 , m $ e $ T \approx 0,60 , s $:
v = lambdaT
Outra forma de calcular é usando a relação entre a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $:
lambda approx 6,06 , m
Onde:
T approx 0,60 , s
v = 6,060,60 approx 10,10 , m/s
Então:
omega
Ambas as maneiras dão um resultado próximo, confirmando a velocidade da onda.

Resposta

  • Amplitude: $ 30 , mm $
  • Comprimento de Onda: $ \approx 6,06 , m $
  • Período: $ \approx 0,60 , s $
  • Velocidade da Onda: $ \approx 10,10 , m/s $

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