Uma onda se propaga ao longo de uma corda esticada, e a tensão T(x) varia com a posição x. A equação da onda em função do tempo é dada por:
y(x, t)=0,1 sin (2 pi x-4 pi t)
a) Se a tensão aumenta linearmente com x, como a velocidade da onda seria afetada ao longo da corda? Explique com base na relação v=raizT(x)mu.
b) Calcule a velocidade de propagação da onda quando x=0 e quando x=2 m, considerando que a massa linear da corda é mu=0,15 kg / m.

Passo 1

Resumindo: temos a onda
y(x,t)=0,1sinl(2pi x-4pi tr)
numa corda de densidade linear mu=0,15;kg/m e tensão T(x) que cresce linearmente com x. Pergunta-se:
a) qualitativamente, como varia a velocidade v(x)=raizT(x)/mu ao longo da corda?
b) calcular v em x=0 e em x=2,m.

Passo 2

Da teoria de ondas numa corda esticada sabemos que
v(x)=raizT(x)mu
Se T(x) aumenta linearmente com x, digamos T(x)=T0 + kx com k>0, então v(x)=raizl(T0+kxr)/mu. Como a raiz quadrada é função crescente, v(x) também cresce com x.

Passo 3

Explicando em palavras: onde a corda está mais tensa (maior T), as perturbações se propagam mais rápido. Logo, ao longo da corda, à medida que x aumenta e T(x) cresce, a velocidade v(x) cresce proporcionalmente à raizT(x).

Passo 4

Para os valores numéricos em x=0 e x=2,m usaríamos
v(0)=raizT(0)mu e v(2)=raizT(2)mu,
Mas o enunciado não dá nem T(0) nem a taxa de variação k. Sem esses dados não é possível obter um valor numérico para v(0) e v(2).

Resposta

a) A velocidade cresce com x, pois v(x)=raizT(x)/mu e T(x) aumenta linearmente.
b) Não há como calcular numericamente v(0) e v(2) sem especificar explicitamente T(0) e o coeficiente de variação de T(x).

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