Se uma onda senoidal sofre uma variação de fase de 45^{\circ} em 5 ms , determine a velocidade angular desta onda.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a velocidade angular da onda, dado que a onda sofre uma variação de fase de 45^\circ em 5\\ \mathrm{ms}. Dados fornecidos:
\Delta\varphi = 45^\circ,\qquad \Delta t = 5\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a velocidade angular \omega relaciona a variação de fase com o tempo pela fórmula
\Delta\varphi = \omega\,\Delta t.
Aqui \Delta\varphi é a variação de fase (em radianos quando usamos \omega em \mathrm{rad/s}), \Delta t é o intervalo de tempo em segundos e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}. Para encontrar \omega isolamos:
\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}.
Importante: devemos sempre usar \Delta\varphi em radianos nessa fórmula.

Passo 3

Converter a variação de fase de graus para radianos. A relação é 180^\circ = \pi\\ \mathrm{rad}. Assim,
\Delta\varphi = 45^\circ = \frac{45}{180}\pi = \frac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Converter o tempo de milissegundos para segundos. Sabendo que 1\\ \mathrm{ms}=10^{-3}\\ \mathrm{s},
\Delta t = 5\\ \mathrm{ms} = 5\times 10^{-3}\\ \mathrm{s} = 0,005\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula \omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t}. Então
\omega = \frac{\pi/4}{0,005} = \frac{\pi}{4\cdot 0,005} = \frac{\pi}{0,02} = 50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Expliquei cada manipulação: dividi a fração \pi/4 por 0,005, que é equivalente a multiplicar por 1/0,005; 1/0,005=200, então (\pi/4)\cdot 200 = 50\pi.

Passo 6

Calcular valor numérico aproximado para ter uma ideia prática. Usando \pi\approx 3,14159265,
\omega \approx 50\pi \approx 50\times 3,14159265 \approx 157,0796\\ \mathrm{rad/s},
arredondando: \omega \approx 157,08\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para entender melhor): a frequência f está relacionada a \omega por \omega=2\pi f. Então
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{50\pi}{2\pi}=25\\ \mathrm{Hz},
ou seja, a onda tem 25\\ \mathrm{Hz} — consistência com o valor de \omega.

Resposta

\omega = 50\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 157,08\\ \mathrm{rad/s}

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