Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0 \mathrm{~cm}, um comprimento de onda de 10 cm e uma freqüência de 400 Hz . Se a equação da onda é da forma y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t), determine (a) y_{m}, (b) k, (c) \omega e (d) o sinal que precede \omega. Quais são (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?
Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido negativo de um eixo x tem uma amplitude de 1,00 \mathrm{~cm}, uma freqüência de 550 Hz e uma velocidade de 330 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a equação da onda é da forma y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t), determine
\omega

Passo 1

O enunciado fala de uma onda senoidal transversal y(x,t)=y_{m}\operatorname{sen}(kx\pm\omega t). Na primeira parte a onda tem amplitude de 2{,}0 cm, comprimento de onda de 10 cm, frequência de 400 Hz e se propaga no sentido positivo de x. Precisamos achar (a) y_{m}, (b) k, (c) \omega, (d) o sinal correto, (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda. Na segunda parte há outra onda com amplitude 1{,}00 cm, frequência 550 Hz e velocidade 330 m/s se propagando em sentido negativo de x; pedem \omega.

Passo 2

A amplitude é dada diretamente pelo enunciado:
y_{m}=2{,}0 cm.
Convertendo para o SI,
y_{m}=0{,}020\text{ m}.

Passo 3

O número de onda k relaciona-se ao comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Como \lambda=10 cm =0{,}10 m, resulta
k=\frac{2\pi}{0{,}10}=20\pi\\ (\text{rad/m}).

Passo 4

A frequência angular \omega é
\omega=2\pi f,
com f=400 Hz, logo
\omega=2\pi\times400=800\pi\\ (\text{rad/s}).

Passo 5

Para uma onda que se propaga no sentido positivo de x, o argumento de fase fixo deve ser kx-\omega t. Portanto o sinal que precede \omega t é “ -”.

Passo 6

A velocidade transversal instantânea é \partial y/\partial t=-\omega y_{m}\cos(kx-\omega t), cujo valor máximo em módulo é
v_{y,\max}=\omega\,y_{m}.
Substituindo \omega=800\pi rad/s e y_{m}=0{,}020 m,
v_{y,\max}=800\pi\times0{,}020=16\pi\approx50{,}3\\ \text{m/s}.

Passo 7

A velocidade de propagação da onda vale
v=\frac{\omega}{k}=\frac{800\pi}{20\pi}=40\\ \text{m/s}.
(Verificação: v=f\lambda=400\times0{,}10=40 m/s.)

Passo 8

Na segunda onda, só pedem \omega. Como \omega=2\pi f e f=550 Hz,
\omega=2\pi\times550=1100\pi\approx3456\\ \text{rad/s}.

Resposta

(a) y_{m}=2{,}0 cm =0{,}020 m
(b) k=20\pi rad/m
(c) \omega=800\pi rad/s
(d) sinal “ -
(e) v_{y,\max}=16\pi\approx50{,}3 m/s
(f) v=40 m/s
Para a segunda onda:
\omega=1100\pi\approx3456 rad/s

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