Questão 2
Considere o lançamento de um projétil em duas dimensões sem considerar a resistência do ar. A velocidade do projétil ao sair da boca da arma é v_{0} e o ângulo de elevação é \theta. Use o formalismo hamiltoniano para encontrar as equações de movimento. Resolva em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede as equações de movimento de um projétil lançado no plano sem resistência do ar, usando o formalismo hamiltoniano em coordenadas polares. Para isso vamos:
  1. escrever a Lagrangiana em (r,\varphi);
  2. obter os momentos canônicos p_{r} e p_{\varphi};
  3. fazer a transformação de Legendre para achar o Hamiltoniano H;
  4. aplicar as equações de Hamilton para obter \dot r, \dot \varphi, \dot p_{r} e \dot p_{\varphi}.

Passo 2

Em coordenadas polares com origem na boca da arma, a energia cinética é
T = \tfrac12\,m\bigl(\dot r^{2} + r^{2}\dot\varphi^{2}\bigr)
e a energia potencial gravitacional (supondo y = r\sin\varphi) é
V = m g\,r\sin\varphi.
Logo a Lagrangiana é
L = T - V = \tfrac12\,m\bigl(\dot r^{2} + r^{2}\dot\varphi^{2}\bigr) \;-\; m g\,r\sin\varphi.

Passo 3

Definimos os momentos canônicos como
p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\,\dot r, \qquad p_{\varphi} = \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = m\,r^{2}\dot\varphi.

Passo 4

Fazendo a transformação de Legendre,
H = p_{r}\dot r + p_{\varphi}\dot\varphi - L,
e substituindo \dot r = p_{r}/m e \dot\varphi = p_{\varphi}/(m\,r^{2}), obtemos
H = \frac{p_{r}^{2}}{2m} \;+\; \frac{p_{\varphi}^{2}}{2m\,r^{2}} \;+\; m g\,r\sin\varphi.

Passo 5

As equações de Hamilton são
\dot r = \frac{\partial H}{\partial p_{r}} = \frac{p_{r}}{m},
\dot\varphi = \frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}} = \frac{p_{\varphi}}{m\,r^{2}},
\dot p_{r} = -\,\frac{\partial H}{\partial r} = \frac{p_{\varphi}^{2}}{m\,r^{3}} \;-\; m g\,\sin\varphi,
\dot p_{\varphi} = -\,\frac{\partial H}{\partial \varphi} = -\,m g\,r\cos\varphi.

Resposta

As equações de movimento em coordenadas polares são
\dot r = \frac{p_{r}}{m}, \quad \dot\varphi = \frac{p_{\varphi}}{m\,r^{2}}, \quad \dot p_{r} = \frac{p_{\varphi}^{2}}{m\,r^{3}} - m g\,\sin\varphi, \quad \dot p_{\varphi} = -\,m g\,r\cos\varphi.

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