Questão 2
Considere o lançamento de um projétil em duas dimensões sem considerar a resistência do ar. A velocidade do projétil ao sair da boca da arma é
e o ângulo de elevação é
. Use o formalismo hamiltoniano para encontrar as equações de movimento. Resolva em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede as equações de movimento de um projétil lançado no plano sem resistência do ar, usando o formalismo hamiltoniano em coordenadas polares. Para isso vamos:
- escrever a Lagrangiana em
; - obter os momentos canônicos
e ; - fazer a transformação de Legendre para achar o Hamiltoniano
; - aplicar as equações de Hamilton para obter
, , e .
Passo 2
Em coordenadas polares com origem na boca da arma, a energia cinética é
e a energia potencial gravitacional (supondo
) é
Logo a Lagrangiana é
Passo 3
Definimos os momentos canônicos como
Passo 4
Fazendo a transformação de Legendre,
e substituindo
e
, obtemos
Passo 5
As equações de Hamilton são
Resposta
As equações de movimento em coordenadas polares são