Em relação a Questão 9, determine:
Considere uma partícula de massa
movendo-se em um plano sob ação de uma força central:
com
. (a) Qual é o Lagrangiano para esse sistema em termos das coordenadas polares
e suas velocidades? (b) Escreva as equações de movimento para
e
, e mostre que o momento angular orbital
é uma constante de movimento. (c) Assuma que
. Encontre a equação da órbita, ou seja,
em função de
.
Considere uma partícula de massa
Passo 1
Temos uma partícula de massa
sujeita a uma força central
Vamos usar coordenadas polares
.
(a) Para escrever o Lagrangiano precisamos do termo cinético
e do potencial tal que
.
(b) Aplicaremos as equações de Euler–Lagrange em e em
e veremos que o momento angular
é conservado.
(c) Para achar a órbita usamos a substituição e derivamos a equação diferencial em
.
(a) Para escrever o Lagrangiano precisamos do termo cinético
e do potencial
(b) Aplicaremos as equações de Euler–Lagrange em
(c) Para achar a órbita usamos a substituição
Passo 2
Calcular o potencial
:
Tomamos
. Assim o Lagrangiano é
Passo 3
Aplicando Euler–Lagrange em
:
Logo o momento angular
é constante.
é constante.
Em
temos
de onde
Passo 4
Para achar a órbita definimos
. Usa-se a relação padrão
Como
, vem
A equação torna-se
Sob a hipótese
, definimos
e obtemos
e obtemos
A solução geral é
Escrevendo
e tomando
por uma escolha de referência em
,
Invertemos para
.
Resposta
(a)
(b)
Equação radial
Equação radial
Equação angular
(c)
Definindo e a excentricidade
,
Definindo