Em relação a Questão 9, determine:
Considere uma partícula de massa m movendo-se em um plano sob ação de uma força central:
F(r)=-\frac{K}{r^{2}}+\frac{K^{\prime}}{r^{3}}
com K>0. (a) Qual é o Lagrangiano para esse sistema em termos das coordenadas polares r, \theta e suas velocidades? (b) Escreva as equações de movimento para r e \theta, e mostre que o momento angular orbital l é uma constante de movimento. (c) Assuma que l^{2}>-m K^{\prime}. Encontre a equação da órbita, ou seja, r em função de \theta.

Passo 1

Temos uma partícula de massa m sujeita a uma força central
F(r)=-\frac{K}{r^{2}}+\frac{K'}{r^{3}},\quad K>0.
Vamos usar coordenadas polares (r,\theta).
(a) Para escrever o Lagrangiano precisamos do termo cinético
\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)
e do potencial V(r) tal que F(r)=-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r.
(b) Aplicaremos as equações de Euler–Lagrange em r e em \theta e veremos que o momento angular
\ell=m\,r^2\dot\theta é conservado.
(c) Para achar a órbita usamos a substituição u=1/r e derivamos a equação diferencial em u(\theta).

Passo 2

Calcular o potencial V(r):
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-F(r) =\frac{K}{r^2}-\frac{K'}{r^3} \quad\Longrightarrow\quad V(r)=-\frac{K}{r}+\frac{K'}{2\,r^2}\,+C.
Tomamos C=0. Assim o Lagrangiano é
L=T-V =\frac12\,m\bigl(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\bigr) +\frac{K}{r}-\frac{K'}{2\,r^2}.

Passo 3

Aplicando Euler–Lagrange em \theta:
\frac{\partial L}{\partial\theta}=0, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Bigr) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(m\,r^2\dot\theta\bigr)=0
Logo o momento angular
\ell=m\,r^2\dot\theta
é constante.
Em r temos
\frac{\partial L}{\partial r} =m\,r\,\dot\theta^2-\frac{K}{r^2}+\frac{K'}{r^3}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\Bigr) =m\,\ddot r,
de onde
m\,\ddot r =m\,r\,\dot\theta^2-\frac{K}{r^2}+\frac{K'}{r^3}.

Passo 4

Para achar a órbita definimos u=1/r. Usa-se a relação padrão
\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u =-\frac{m}{\ell^2u^2}\,F\bigl(1/u\bigr).
Como F(r)=-K u^2+K' u^3, vem
-\frac{m}{\ell^2u^2}F =\frac{mK}{\ell^2}-\frac{mK'}{\ell^2}\,u.
A equação torna-se
\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} +\Bigl(1+\frac{mK'}{\ell^2}\Bigr)u =\frac{mK}{\ell^2}.
Sob a hipótese \ell^2>-mK', definimos
\displaystyle \alpha=\sqrt{1+\frac{mK'}{\ell^2}}
e obtemos
\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+\alpha^2\,u =\frac{mK}{\ell^2}.
A solução geral é
u(\theta) =\frac{mK}{\alpha^2\,\ell^2} + C\cos\bigl(\alpha\theta+\delta\bigr).
Escrevendo e=C\,\alpha^2\ell^2/(mK) e tomando \delta=0 por uma escolha de referência em \theta,
u(\theta) =\frac{mK}{\alpha^2\ell^2}\bigl[1+e\cos(\alpha\theta)\bigr].
Invertemos para r=1/u.

Resposta

(a)
L(r,\theta,\dot r,\dot\theta) =\frac{1}{2} m\bigl(\dot r^2 + r^2 \dot\theta^2\bigr) + \frac{K}{r} - \frac{K'}{2 r^2}.
(b)
Equação radial
m \ddot r = m r \dot\theta^2 - \frac{K}{r^2} + \frac{K'}{r^3},
Equação angular
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \bigl(m r^2 \dot\theta\bigr) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \ell = m r^2 \dot\theta = \text{constante}.
(c)
Definindo \displaystyle \alpha = \sqrt{1 + \frac{m K'}{\ell^2}} e a excentricidade e,
r(\theta) = \frac{\alpha^2 \ell^2}{m K} \frac{1}{1 + e \cos\bigl(\alpha \theta\bigr)}.

Exercícios relacionados