Questão 3: Calcule o limite das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
- O ponto de aproximação é
. - A expressão no numerador aparece na imagem como
. Pela forma algébrica do resto da expressão, é muito provável que esse símbolo seja o número (isto é, que o numerador seja ), mas a imagem deixa isso um pouco ambíguo. Não há como perguntar ao autor, então vou prosseguir assumindo que o termo é . - O objetivo é calcular o limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Ideia geral sobre limites em duas variáveis (mini-aula): para existir o limite
o valor de
ao aproximar
de
deve tender ao mesmo número independentemente do caminho seguido. Uma maneira prática de testar existência é:
- tentar simplificar/alisar a expressão perto do ponto;
- verificar limites ao longo de diferentes caminhos (retas, curvas simples). Se dois caminhos dão limites diferentes, o limite total não existe.
Agora vamos manipular a expressão algebraicamente. Assumindo que o numerador é
, observe que esse polinômio fatoriza como um quadrado perfeito:
No denominador, calcule:
Reconhecendo quadrados:
Passo 3
Fazemos a substituição de variáveis para simplificar a visão do limite: defina
Quando
temos
. Reescrevendo a função em termos de
:
Portanto o limite vira
Observe que o denominador pode anular-se dependendo da relação entre
e
(por exemplo quando
), o que já dá pista de comportamento singular em certas direções.
Passo 4
Teste por caminhos: primeiro escolha o caminho
(isto é,
). Ao longo desse caminho, para
,
Logo, aproximando por qualquer ponto com
e
, a função tende a
. Assim um candidato de limite é
.
Passo 5
Agora escolha outro caminho do tipo reta passando pela origem em
:
, com
constante real diferente de
. Substituindo:
Ao levar
(logo
por esse caminho), o valor tende para
. Isso depende de
. Exemplos concretos:
- Para
(equivalente ao caminho ) obtemos (confirmando o passo anterior). - Para
(ou seja ) obtemos .
Como os limites ao longo dos caminhos com
e
são diferentes (
e
), isso já é suficiente para concluir que o limite total não existe.
Passo 6
Comentário final (didático): um limite em várias variáveis só existe se o valor-limite for o mesmo para qualquer modo de aproximação. Aqui vimos que a expressão reduzida
dá diferentes valores para diferentes retas
. Logo o limite é dependente do caminho e não existe. Note também que ao aproximar-se exatamente pela reta
(isto é
ou
em termos originais) a expressão fica com denominador zero para pontos próximos, indicando singularidade ao longo dessas direções.
Resposta
Não existe.