Questão 3: Calcule o limite das funções dadas.
\lim _{(u, v) \rightarrow(1,1)} \frac{u^{2}-2 u+i}{u^{2}-v^{2}-2 u+2 v}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(u,v)\to(1,1)} \frac{u^{2}-2u+i}{u^{2}-v^{2}-2u+2v}.
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
  • O ponto de aproximação é (1,1).
  • A expressão no numerador aparece na imagem como u^{2}-2u+i. Pela forma algébrica do resto da expressão, é muito provável que esse símbolo seja o número 1 (isto é, que o numerador seja u^{2}-2u+1), mas a imagem deixa isso um pouco ambíguo. Não há como perguntar ao autor, então vou prosseguir assumindo que o termo é 1.
  • O objetivo é calcular o limite quando (u,v) se aproxima de (1,1).

Passo 2

Ideia geral sobre limites em duas variáveis (mini-aula): para existir o limite \lim_{(u,v)\to(1,1)} f(u,v) o valor de f(u,v) ao aproximar (u,v) de (1,1) deve tender ao mesmo número independentemente do caminho seguido. Uma maneira prática de testar existência é:
  • tentar simplificar/alisar a expressão perto do ponto;
  • verificar limites ao longo de diferentes caminhos (retas, curvas simples). Se dois caminhos dão limites diferentes, o limite total não existe.
Agora vamos manipular a expressão algebraicamente. Assumindo que o numerador é u^{2}-2u+1, observe que esse polinômio fatoriza como um quadrado perfeito:
u^{2}-2u+1=(u-1)^{2}.
No denominador, calcule:
u^{2}-v^{2}-2u+2v=(u^{2}-2u+1)-(v^{2}-2v+1).
Reconhecendo quadrados:
u^{2}-v^{2}-2u+2v=(u-1)^{2}-(v-1)^{2}.

Passo 3

Fazemos a substituição de variáveis para simplificar a visão do limite: defina
a:=u-1,\qquad b:=v-1.
Quando (u,v)\to(1,1) temos (a,b)\to(0,0). Reescrevendo a função em termos de a,b:
\frac{u^{2}-2u+1}{u^{2}-v^{2}-2u+2v}=\frac{(u-1)^{2}}{(u-1)^{2}-(v-1)^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}.
Portanto o limite vira
\lim_{(a,b)\to(0,0)} \frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}.
Observe que o denominador pode anular-se dependendo da relação entre a e b (por exemplo quando b=\pm a), o que já dá pista de comportamento singular em certas direções.

Passo 4

Teste por caminhos: primeiro escolha o caminho v=1 (isto é, b=0). Ao longo desse caminho, para a\neq0,
\frac{a^{2}}{a^{2}-0}=\frac{a^{2}}{a^{2}}=1.
Logo, aproximando por qualquer ponto com v=1 e u\to1, a função tende a 1. Assim um candidato de limite é 1.

Passo 5

Agora escolha outro caminho do tipo reta passando pela origem em (a,b): b=k a, com k constante real diferente de \pm1. Substituindo:
\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}-k^{2}a^{2}}=\frac{1}{1-k^{2}},\qquad (a\neq0).
Ao levar a\to0 (logo (a,b)\to(0,0) por esse caminho), o valor tende para \dfrac{1}{1-k^{2}}. Isso depende de k. Exemplos concretos:
  • Para k=0 (equivalente ao caminho v=1) obtemos 1 (confirmando o passo anterior).
  • Para k=2 (ou seja v=1+2(u-1)) obtemos \dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3}.
Como os limites ao longo dos caminhos com k=0 e k=2 são diferentes ( 1 e -\tfrac{1}{3}), isso já é suficiente para concluir que o limite total não existe.

Passo 6

Comentário final (didático): um limite em várias variáveis só existe se o valor-limite for o mesmo para qualquer modo de aproximação. Aqui vimos que a expressão reduzida \dfrac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}} dá diferentes valores para diferentes retas b=ka. Logo o limite é dependente do caminho e não existe. Note também que ao aproximar-se exatamente pela reta b=\pm a (isto é v=u ou v=2-u em termos originais) a expressão fica com denominador zero para pontos próximos, indicando singularidade ao longo dessas direções.

Resposta

Não existe.

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