Considere uma fonte pontual emitindo ondas sonoras esféricas uniformemente em todas as direções. Sendo a potência média media irradiada 25 W, determine:
(a) A intensidade sonora I da onda a uma distância R = 2, 5 m .
(b) o nível de intensidade sonora, em decibéis.
(R: (a) 0,32 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ); (b) 115 dB ).

Passo 1

O enunciado dá uma fonte pontual que irradia som igualmente em todas as direções com potência média P=25\\ \mathrm{W}. Pede duas coisas:
  • (a) A intensidade sonora I a uma distância R=2,5\\ \mathrm{m}.
  • (b) O nível de intensidade sonora L em decibéis nessa mesma posição.
Informações relevantes fornecidas: P=25\\ \mathrm{W} e R=2,5\\ \mathrm{m}. Não há outros dados ocultos.

Passo 2

Conceito e fórmula para intensidade: a intensidade sonora I é a potência sonora que atravessa, por unidade de área, uma superfície perpendicular à direção da onda. Para uma fonte pontual que emite esfericamente, a potência se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio R. A área da esfera é
A = 4\pi R^{2}.
Portanto a fórmula que relaciona potência P, área A e intensidade I é
I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi R^{2}},
onde I está em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, P em \mathrm{W} e R em \mathrm{m}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados. Primeiro calculamos R^{2}:
R^{2} = (2,5)^{2} = 6,25\\ \mathrm{m}^{2}.
Então a área da esfera é
4\pi R^{2} = 4\pi \cdot 6,25 = 25\pi.
Substituímos na expressão de I:
I = \frac{25}{25\pi} = \frac{1}{\pi}.

Passo 4

Avaliação numérica de I: sabemos que \pi \approx 3,14159, então
I = \frac{1}{\pi} \approx 0,31831\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos I \approx 0,32\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Essa é a resposta do item (a).

Passo 5

Definição e fórmula para nível sonoro em decibéis: o nível de intensidade sonora L é uma medida logarítmica da razão entre a intensidade I e uma intensidade de referência I_{0}. A fórmula é
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} é a intensidade de referência usual no ar (limiar de audição). O fator 10 vem da definição de decibel para potência (10 vezes o logaritmo da razão de potências).

Passo 6

Cálculo do nível L com I=1/\pi. Primeiro formamos a razão:
\frac{I}{I_{0}} = \frac{1/\pi}{10^{-12}} = \frac{10^{12}}{\pi}.
Usamos propriedades dos logaritmos: \log_{10}\!\left(\dfrac{10^{12}}{\pi}\right) = \log_{10}(10^{12}) - \log_{10}(\pi) = 12 - \log_{10}(\pi). Com \log_{10}(\pi)\approx 0,49715 temos
\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right) \approx 12 - 0,49715 = 11,50285.
Agora multiplicamos por 10:
L = 10 \times 11,50285 \approx 115,0285\\ \mathrm{dB}.
Arredondando para um valor prático obtemos L \approx 115\\ \mathrm{dB}. Essa é a resposta do item (b).

Resposta

0,32\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\n 115\\ \mathrm{dB}

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