Uma onda tem uma frequência angular de 160 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e um comprimento de onda de 1,50 \mathrm{~m}. Calcule (a) o número de onda e (b) a velocidade da onda.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as grandezas abaixo (não vou resolver ainda, só listar o que foi dado):
  • Frequência angular: \omega = 160\\ \mathrm{rad/s}.
  • Comprimento de onda: \lambda = 1{,}50\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) o número de onda;
(b) a velocidade da onda.

Passo 2

O que é o número de onda e a fórmula que vou usar.
  • O número de onda é uma medida de quantas oscilações cabem por unidade de comprimento; sua unidade é \mathrm{rad\cdot m^{-1}}.
  • A definição padrão é
k = \frac{2\pi}{\lambda},
onde \lambda é o comprimento de onda (em metros) e k é o número de onda (em \mathrm{rad\cdot m^{-1}}).
Explicando: 2\pi corresponde a uma oscilação completa (um ciclo em radianos), então dividir por \lambda dá quantos radianos da fase existem por metro.

Passo 3

Cálculo do número de onda substituindo o valor de \lambda.
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}50} = \frac{4\pi}{3}.
Agora o valor numérico aproximado (usando \pi \approx 3{,}14159):
k \approx \frac{4\times3{,}14159}{3} \approx 4{,}18879\\ \mathrm{rad\cdot m^{-1}}.
Arredondando de forma consistente com os dados (três algarismos significativos do comprimento), fica
k \approx 4{,}19\\ \mathrm{rad\cdot m^{-1}}.

Passo 4

O que é a velocidade da onda e as fórmulas úteis.
  • A velocidade de fase da onda v relaciona frequência e comprimento de onda por
v = f\,\lambda,
onde f é a frequência (em Hz).
  • A frequência f está relacionada com a frequência angular \omega por
\omega = 2\pi f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{\omega}{2\pi}.
  • Alternativamente, usando k e \omega, também vale
v = \frac{\omega}{k},
já que \omega/k = (2\pi f)/(2\pi/\lambda)=f\lambda. Vou mostrar os dois jeitos (são equivalentes) para ficar claro.

Passo 5

Cálculo da velocidade usando f\lambda.
Primeiro a frequência:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{160}{2\pi} = \frac{80}{\pi}.
Valor numérico:
f \approx \frac{80}{3{,}14159} \approx 25{,}4648\\ \mathrm{Hz}.
Agora a velocidade:
v = f\,\lambda \approx 25{,}4648\times1{,}50 \approx 38{,}1972\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma compatível com os dados:
v \approx 38{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação rápida usando \omega/k para checar consistência:
v = \frac{\omega}{k} \approx \frac{160}{4{,}18879}\approx 38{,}197\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado dentro do arredondamento. Tudo consistente.

Resposta

(a) k = 4{,}19\\ \mathrm{rad\cdot m^{-1}}
(b) v = 38{,}2\\ \mathrm{m/s}

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