Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de
e uma frequência de
?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: amplitude
. - Dado: frequência
. - Pergunta: qual é a aceleração máxima da plataforma (valor numérico e unidade)?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo pode ser escrita como
onde:
-
é a posição em metros no instante , -
é a amplitude (em metros), -
é a velocidade angular (em rad/s).
Para obter a aceleração, derivamos
duas vezes em relação a
. Lembrete rápido sobre derivadas: a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Aplicando isso:
primeira derivada (velocidade)
segunda derivada (aceleração)
Note que
varia entre
e
, logo a magnitude máxima da aceleração é
Passo 3
Relação entre frequência
e velocidade angular
:
. Substituindo em
obtemos uma forma prática:
Essa é a fórmula que usaremos diretamente, porque já temos
e
.
Passo 4
Converter amplitude para unidades SI (metros). O enunciado deu
. Como
,
Passo 5
Calcular passo a passo usando
.
Calcular
:
Calcular
. Usando
,
Multiplicar
por
:
Fazendo a conta de forma manual:
. (ou calcular diretamente com a multiplicação precisa) Portanto
Agora multiplicar por
:
Passo 6
Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza:
é aproximadamente
vezes a aceleração da gravidade, ou seja cerca de
. Faz sentido porque acelerações máximas em MHS crescem com o quadrado da frequência: se a frequência dobra,
quadruplica.