Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 3,40 \mathrm{~cm} e uma frequência de 6,60 \mathrm{~Hz} ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: amplitude A=3{,}40\\ \mathrm{cm}.
  • Dado: frequência f=6{,}60\\ \mathrm{Hz}.
  • Pergunta: qual é a aceleração máxima da plataforma (valor numérico e unidade)?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t),
onde:
  • x(t) é a posição em metros no instante t,
  • A é a amplitude (em metros),
  • \omega é a velocidade angular (em rad/s).
Para obter a aceleração, derivamos x(t) duas vezes em relação a t. Lembrete rápido sobre derivadas: a derivada de \cos(\omega t) em relação a t é -\omega\sin(\omega t) e a derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t). Aplicando isso:
primeira derivada (velocidade)
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t),
segunda derivada (aceleração)
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t).
Note que \cos(\omega t) varia entre -1 e 1, logo a magnitude máxima da aceleração é
a_{\max}=A\omega^2.

Passo 3

Relação entre frequência f e velocidade angular \omega: \omega=2\pi f. Substituindo em a_{\max} obtemos uma forma prática:
a_{\max}=A\omega^2 = A(2\pi f)^2 = 4\pi^2 f^2 A.
Essa é a fórmula que usaremos diretamente, porque já temos f e A.

Passo 4

Converter amplitude para unidades SI (metros). O enunciado deu A=3{,}40\\ \mathrm{cm}. Como 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m},
A=3{,}40\\ \mathrm{cm}=0{,}0340\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular passo a passo usando \displaystyle a_{\max}=4\pi^2 f^2 A.
Calcular f^2:
f^2=(6{,}60)^2=43{,}56.
Calcular 4\pi^2. Usando \pi^2\approx9{,}8696,
4\pi^2\approx4\times9{,}8696=39{,}4784.
Multiplicar 4\pi^2 por f^2:
4\pi^2 f^2 \approx 39{,}4784\times43{,}56.
Fazendo a conta de forma manual: 39{,}4784\times43{,}56 = 39{,}4784\times(40 - 0{,}44)\approx 1\,579{,}136 - 17{,}437\approx1\,719{,}699. (ou calcular diretamente com a multiplicação precisa) Portanto
4\pi^2 f^2 \approx 1\,719{,}70\\ \text{(unidade: s}^{-2}\text{)}.
Agora multiplicar por A:
a_{\max}= (4\pi^2 f^2)\,A \approx 1\,719{,}70\times0{,}0340 \approx 58{,}47\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza: a_{\max}\approx58{,}5\\ \mathrm{m/s^2} é aproximadamente 58{,}5/9{,}8\approx5{,}97 vezes a aceleração da gravidade, ou seja cerca de 6\\ g. Faz sentido porque acelerações máximas em MHS crescem com o quadrado da frequência: se a frequência dobra, a_{\max} quadruplica.

Resposta

58{,}5\\ \mathrm{m/s^2}

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