Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 3,00 \mathrm{~m} de comprimento e 90,0 g de massa sujeita a uma tração de 400 N ?
(Valor de cada questão: 1,25)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Comprimento da corda: L = 3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Massa da corda: m = 90{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Tração (força na corda): T = 400\\ \mathrm{N}.
Pergunta: qual é a velocidade da onda transversal na corda? Ou seja, encontrar v em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Qual fórmula usar e o que cada coisa significa.
A velocidade de uma onda transversal em uma corda esticada é dada pela fórmula
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s});
  • T é a tração (força) na corda (em \mathrm{N});
  • \mu é a massa linear da corda, isto é, a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}).
Explicando \mu: se uma corda tem massa total m distribuída uniformemente ao longo do comprimento L, então
\mu=\frac{m}{L}.
Unidades: \mu em \mathrm{kg/m} porque \mathrm{kg}/\mathrm{m}. A fórmula v=\sqrt{T/\mu} vem da análise dinâmica de um pequeno segmento da corda (lei de Newton aplicada ao elemento ondulante) e do fato de que a perturbação se propaga com velocidade tal que \mu e T determinam a relação entre aceleração e curvatura; aqui fica a versão prática: calcule \mu e aplique a fórmula.

Passo 3

Converter unidades e calcular \mu.
Primeiro converter a massa de gramas para quilogramas:
m = 90{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}0900\\ \mathrm{kg}.
Agora calcular a massa linear:
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}0900\\ \mathrm{kg}}{3{,}00\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a divisão:
\mu=0{,}0300\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Calcular v aplicando a fórmula e fazer uma simplificação útil.
Usando
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
substitui-se T=400\\ \mathrm{N} e \mu=0{,}0300\\ \mathrm{kg/m}:
v=\sqrt{\frac{400}{0{,}0300}}\\ \mathrm{m/s}.
Para simplificar a conta de cabeça, note que 0{,}0300=\dfrac{3}{100}, então
\frac{400}{0{,}0300}=\frac{400}{3/100}=400\cdot\frac{100}{3}=\frac{40000}{3}.
Portanto
v=\sqrt{\frac{40000}{3}}=\frac{\sqrt{40000}}{\sqrt{3}}=\frac{200}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m/s}.
Agora calcular numericamente \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então
v\approx\frac{200}{1{,}73205}\approx115{,}47\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação dimensional e arredondamento.
  • Verificação de unidades: \dfrac{T}{\mu} tem unidades \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg/m}}=\dfrac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{kg/m}}=\mathrm{m^2/s^2}. A raiz dá \mathrm{m/s}, ou seja, coerente.
  • Sobre algarismos significativos: os dados ( L=3{,}00 e m=90{,}0 ) têm três algarismos significativos, logo é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos: 115\\ \mathrm{m/s}.
Força a gente sempre comento: dá para também deixar a resposta com mais casas (por exemplo 115{,}47\\ \mathrm{m/s}), mas para prova vale arredondar conforme os dados.

Resposta

115\\ \mathrm{m/s}

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