onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Considere o elemento da corda em x=0. (a) Qual é o intervalo de tempo, entre os dois primeiros instantes em que esse elemento tem uma posição y=0,175 \mathrm{~m} ? (b) Qual é a distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo encontrado no item (a)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o elemento da corda em x=0: (a) o intervalo de tempo entre os dois primeiros instantes em que esse elemento tem posição y=0,175\\ \mathrm{m}; (b) a distância percorrida pela onda durante esse intervalo.
Informações explícitas dadas no enunciado que eu tenho aqui:
x e y estão em metros e t em segundos.
O ponto/elemento da corda considerado é em x=0.
O valor de y que aparece nas perguntas é y=0,175\\ \mathrm{m}.
Informações que deveriam estar no enunciado mas não foram fornecidas aqui (são essenciais para obter um valor numérico):
a equação da onda (por exemplo y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) ou outra forma), ou pelo menos os parâmetros da onda: amplitude A, número de onda k, velocidade angular \omega (ou frequência f), e fase inicial \varphi;
ou alternativamente a amplitude A, a frequência (ou período) e a velocidade de propagação v.
Sem essa informação eu não posso calcular um valor numérico final. Vou, porém, explicar passo a passo o método completo e dar as fórmulas que você aplicaria assim que souber A, \omega e k. Isso serve tanto para entender a técnica na prova quanto para calcular o número quando você topar com os parâmetros.
Passo 2
Modelo padrão e significado dos parâmetros (aula rápida e prática).
Uma forma muito comum para uma onda transversal harmônica que viaja é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde:
A é a amplitude (metros) — o máximo valor absoluto que y atinge;
k é o número de onda (rad/m), relacionado ao comprimento de onda \lambda por k=2\pi/\lambda;
\omega é a frequência angular (rad/s), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f;
\varphi é a fase inicial (radianos), deslocamento de fase no tempo t=0 e posição x=0.
Para o elemento em x=0 substituímos x=0 e obtemos uma função do tempo só:
y(0,t)=A\sin(-\omega t+\varphi).
Podemos sempre reescrever isso como
y(0,t)=A\sin(\omega t+\delta),
onde \delta é alguma fase (absorvendo o sinal), porque uma fase arbitrária cobre qualquer deslocamento inicial. O importante: o movimento do ponto x=0 é uma oscilação harmônica de amplitude A e frequência angular \omega.
Passo 3
Resolver a equação para os instantes em que y(0,t)=y_0 com y_0=0,175\\ \mathrm{m}.
Queremos as soluções de
A\sin(\omega t+\delta)=y_0.
Primeiro condição necessária: o valor pedido deve estar dentro do alcance da oscilação:
|y_0|\le A.
Se |y_0|>A então não existe nenhum instante em que o ponto alcance y_0.
Essas são todas as soluções ordenadas no tempo. Agora queremos os “dois primeiros instantes” positivos em que y(0,t)=y_0. Independentemente da fase \delta e do inteiro n escolhido, duas soluções consecutivas correspondentes a uma mesma oscilação (primeira subida e segunda passagem no mesmo nível, por exemplo) estão separadas por uma diferença de tempo que não depende de \delta nem de n. Vamos calcular essa diferença.
Passo 4
Calcular o intervalo de tempo entre duas soluções consecutivas.
Escolhemos uma solução do primeiro tipo e a próxima solução do segundo tipo com o mesmo n (essas duas ocorrem dentro da mesma meia-período). Assim:
contanto que |y_0|\le A. Essa é a resposta geral ao item (a). Observações importantes:
se \arcsin for negativo (quando y_0 e A têm sinais que fazem s<0), a fórmula funciona do mesmo jeito;
essa diferença corresponde a uma fração do período T=2\pi/\omega. Você pode verificar que quando y_0=0 (passagem pela posição central) temos \alpha=0 e \Delta t=\pi/\omega=T/2 — isto é, meio período entre duas passagens sucessivas por y=0 em direções opostas.
Passo 5
Calcular a distância percorrida pela onda no intervalo \Delta t.
A distância percorrida pela onda no sentido da propagação (ou seja, quanto a forma de onda se desloca ao longo do eixo x) em um tempo \Delta t é simplesmente
d=v\,\Delta t,
onde v é a velocidade de propagação da onda. Para uma onda harmônica relaciona-se v, \omega e k por
Essa expressão é independente da fase \delta — só depende da amplitude A e do número de onda k (ou \lambda).
Passo 6
Resumo prático (como aplicar na prova) e verificação de consistência.
Passo prático: identifique a função temporal do ponto x=0 (normalmente A\sin(\omega t+\delta) ou A\cos(\omega t+\delta)). Verifique a amplitude A e calcule s=y_0/A. Se |s|>1, responda que não existe instante.
Calcule \alpha=\arcsin(s).
A resposta para o intervalo de tempo entre as duas primeiras passagens é \Delta t=(\pi-2\alpha)/\omega.
A distância que a onda percorre nesse intervalo é d=v\Delta t ou, em termos de k, d=(\pi-2\alpha)/k.
Confira unidades: \Delta t em segundos, d em metros. Se precisar de número, substitua A,\omega,k pelos valores do enunciado.
Exemplo rápido (apenas ilustração): se fosse dado A=0,20\\ \mathrm{m} e f=2\\ \mathrm{Hz} (\omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}), e k conhecido, você colocaria s=0,175/0,20=0,875, \alpha=\arcsin(0,875) e seguiria as fórmulas acima para achar \Delta t e d.
Resposta
(a) \displaystyle \Delta t=\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{0,175}{A}\right)}{\omega}, desde que \left|\dfrac{0,175}{A}\right|\le1.\n(b) \displaystyle d=\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{0,175}{A}\right)}{k} (equivalente a d=v\,\Delta t com v=\dfrac{\omega}{k}).