onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Considere o elemento da corda em x=0. (a) Qual é o intervalo de tempo, entre os dois primeiros instantes em que esse elemento tem uma posição y=0,175 \mathrm{~m} ? (b) Qual é a distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo encontrado no item (a)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o elemento da corda em x=0: (a) o intervalo de tempo entre os dois primeiros instantes em que esse elemento tem posição y=0,175\\ \mathrm{m}; (b) a distância percorrida pela onda durante esse intervalo.
Informações explícitas dadas no enunciado que eu tenho aqui:
  • x e y estão em metros e t em segundos.
  • O ponto/elemento da corda considerado é em x=0.
  • O valor de y que aparece nas perguntas é y=0,175\\ \mathrm{m}.
Informações que deveriam estar no enunciado mas não foram fornecidas aqui (são essenciais para obter um valor numérico):
  • a equação da onda (por exemplo y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) ou outra forma), ou pelo menos os parâmetros da onda: amplitude A, número de onda k, velocidade angular \omega (ou frequência f), e fase inicial \varphi;
  • ou alternativamente a amplitude A, a frequência (ou período) e a velocidade de propagação v.
Sem essa informação eu não posso calcular um valor numérico final. Vou, porém, explicar passo a passo o método completo e dar as fórmulas que você aplicaria assim que souber A, \omega e k. Isso serve tanto para entender a técnica na prova quanto para calcular o número quando você topar com os parâmetros.

Passo 2

Modelo padrão e significado dos parâmetros (aula rápida e prática).
Uma forma muito comum para uma onda transversal harmônica que viaja é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (metros) — o máximo valor absoluto que y atinge;
  • k é o número de onda (rad/m), relacionado ao comprimento de onda \lambda por k=2\pi/\lambda;
  • \omega é a frequência angular (rad/s), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f;
  • \varphi é a fase inicial (radianos), deslocamento de fase no tempo t=0 e posição x=0.
Para o elemento em x=0 substituímos x=0 e obtemos uma função do tempo só:
y(0,t)=A\sin(-\omega t+\varphi).
Podemos sempre reescrever isso como
y(0,t)=A\sin(\omega t+\delta),
onde \delta é alguma fase (absorvendo o sinal), porque uma fase arbitrária cobre qualquer deslocamento inicial. O importante: o movimento do ponto x=0 é uma oscilação harmônica de amplitude A e frequência angular \omega.

Passo 3

Resolver a equação para os instantes em que y(0,t)=y_0 com y_0=0,175\\ \mathrm{m}.
Queremos as soluções de
A\sin(\omega t+\delta)=y_0.
Primeiro condição necessária: o valor pedido deve estar dentro do alcance da oscilação:
|y_0|\le A.
Se |y_0|>A então não existe nenhum instante em que o ponto alcance y_0.
Assumindo |y_0|\le A, dividimos por A e chamamos
s=\frac{y_0}{A}.
Então buscamos soluções de
\sin(\omega t+\delta)=s.
Defina
\alpha=\arcsin(s)=\arcsin\!\left(\frac{y_0}{A}\right).
As soluções gerais para \sin(\theta)=s são
\theta=\alpha+2\pi n\quad\text{ou}\quad \theta=\pi-\alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Aplicando \theta=\omega t+\delta obtemos os instantes
t_{1,n}=\frac{\alpha-\delta+2\pi n}{\omega},\qquad t_{2,n}=\frac{\pi-\alpha-\delta+2\pi n}{\omega}.
Essas são todas as soluções ordenadas no tempo. Agora queremos os “dois primeiros instantes” positivos em que y(0,t)=y_0. Independentemente da fase \delta e do inteiro n escolhido, duas soluções consecutivas correspondentes a uma mesma oscilação (primeira subida e segunda passagem no mesmo nível, por exemplo) estão separadas por uma diferença de tempo que não depende de \delta nem de n. Vamos calcular essa diferença.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo entre duas soluções consecutivas.
Escolhemos uma solução do primeiro tipo e a próxima solução do segundo tipo com o mesmo n (essas duas ocorrem dentro da mesma meia-período). Assim:
t_{2,n}-t_{1,n}=\frac{\pi-\alpha-\delta+2\pi n}{\omega}-\frac{\alpha-\delta+2\pi n}{\omega} =\frac{\pi-2\alpha}{\omega}.
Portanto o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do ponto x=0 pela posição y_0 é
\Delta t=\frac{\pi-2\alpha}{\omega} =\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{y_0}{A}\right)}{\omega},
contanto que |y_0|\le A. Essa é a resposta geral ao item (a). Observações importantes:
  • se \arcsin for negativo (quando y_0 e A têm sinais que fazem s<0), a fórmula funciona do mesmo jeito;
  • essa diferença corresponde a uma fração do período T=2\pi/\omega. Você pode verificar que quando y_0=0 (passagem pela posição central) temos \alpha=0 e \Delta t=\pi/\omega=T/2 — isto é, meio período entre duas passagens sucessivas por y=0 em direções opostas.

Passo 5

Calcular a distância percorrida pela onda no intervalo \Delta t.
A distância percorrida pela onda no sentido da propagação (ou seja, quanto a forma de onda se desloca ao longo do eixo x) em um tempo \Delta t é simplesmente
d=v\,\Delta t,
onde v é a velocidade de propagação da onda. Para uma onda harmônica relaciona-se v, \omega e k por
v=\frac{\omega}{k}.
Substituindo \Delta t achada no passo anterior:
d=v\Delta t=\frac{\omega}{k}\cdot\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{y_0}{A}\right)}{\omega} =\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{y_0}{A}\right)}{k}.
Uma forma alternativa usando o comprimento de onda \lambda (lembre que k=2\pi/\lambda) é
d=\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{y_0}{A}\right)}{k} =\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda}{\pi}\arcsin\!\left(\dfrac{y_0}{A}\right).
Essa expressão é independente da fase \delta — só depende da amplitude A e do número de onda k (ou \lambda).

Passo 6

Resumo prático (como aplicar na prova) e verificação de consistência.
  • Passo prático: identifique a função temporal do ponto x=0 (normalmente A\sin(\omega t+\delta) ou A\cos(\omega t+\delta)). Verifique a amplitude A e calcule s=y_0/A. Se |s|>1, responda que não existe instante.
  • Calcule \alpha=\arcsin(s).
  • A resposta para o intervalo de tempo entre as duas primeiras passagens é \Delta t=(\pi-2\alpha)/\omega.
  • A distância que a onda percorre nesse intervalo é d=v\Delta t ou, em termos de k, d=(\pi-2\alpha)/k.
  • Confira unidades: \Delta t em segundos, d em metros. Se precisar de número, substitua A,\omega,k pelos valores do enunciado.
Exemplo rápido (apenas ilustração): se fosse dado A=0,20\\ \mathrm{m} e f=2\\ \mathrm{Hz} ( \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}), e k conhecido, você colocaria s=0,175/0,20=0,875, \alpha=\arcsin(0,875) e seguiria as fórmulas acima para achar \Delta t e d.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta t=\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{0,175}{A}\right)}{\omega}, desde que \left|\dfrac{0,175}{A}\right|\le1.\n(b) \displaystyle d=\frac{\pi-2\arcsin\!\left(\dfrac{0,175}{A}\right)}{k} (equivalente a d=v\,\Delta t com v=\dfrac{\omega}{k}).

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