\mathbf{Q} \mid \mathbf{C} (a) Obtenha o valor de A na igualdade escalar 4(7+3) =A. (b) Obtenha A, B e C na igualdade de vetores
700 \hat{\mathbf{i}}+3,00 \hat{\mathbf{k}}=A \hat{\mathbf{i}}+B \hat{\mathbf{j}}+C \hat{\mathbf{k}}. (c) Explique como chega às respostas para convencer um estudante que acha que você não pode resolver uma equação única para três incógnitas diferentes. (d) E se? A igualdade ou a identidade funcional
A+B \cos (C x+D t+E)=7,00 \cos (3 x+4 t+2)

Passo 1

O enunciado tem quatro itens. Vou listar claramente o que cada um pede e as informações dadas.
(a) Pede: obter o valor de A na igualdade escalar
4(7+3)=A.
Informação dada: o número 4 multiplicando a soma 7+3.
(b) Pede: obter A, B e C na igualdade de vetores
700\,\hat{\mathbf{i}}+3{,}00\,\hat{\mathbf{k}}=A\,\hat{\mathbf{i}}+B\,\hat{\mathbf{j}}+C\,\hat{\mathbf{k}}.
Informações dadas: o vetor do lado esquerdo tem componente em \hat{\mathbf{i}} igual a 700, componente em \hat{\mathbf{j}} ausente (logo 0) e componente em \hat{\mathbf{k}} igual a 3{,}00.
(c) Pede: explicar por que é possível resolver (b) mesmo parecendo ser “uma equação única para três incógnitas”. Ou seja, convencer um estudante que acha impossível.
(d) Pede: analisar a igualdade funcional (identidade)
A+B\cos(Cx+D t+E)=7{,}00\cos(3x+4t+2)
e obter informações sobre A,B,C,D,E (ou explicar as possibilidades) quando essa igualdade vale para todo x e todo t.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Resolvendo (a) passo a passo e ensinando a ideia usada.
Primeiro, lembro a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição: para quaisquer números p,q,r,
p(q+r)=pq+pr.
Aqui p=4, q=7, r=3. Aplicando,
4(7+3)=4\cdot 7 + 4\cdot 3.
Agora calculo cada produto simples: 4\cdot 7=28 e 4\cdot 3=12. Somando,
28+12=40.
Portanto o membro esquerdo vale 40. Logo o valor procurado é A=40.
Dica prática para prova: em expressões simples assim, aplique a distributiva ou calcule 7+3=10 e depois 4\cdot 10=40 — dá no mesmo. Sempre mostre um dos passos (soma ou distributiva) para justificar.

Passo 3

Resolvendo (b) com explicação didática do que significa igualdade entre vetores.
Conceito-chave: dois vetores em coordenadas cartesianas (no mesmo sistema de base) são iguais se e somente se suas componentes correspondentes são iguais. Ou seja, se
\alpha\,\hat{\mathbf{i}}+\beta\,\hat{\mathbf{j}}+\gamma\,\hat{\mathbf{k}} = \alpha'\,\hat{\mathbf{i}}+\beta'\,\hat{\mathbf{j}}+\gamma'\,\hat{\mathbf{k}},
então
\alpha=\alpha',\qquad \beta=\beta',\qquad \gamma=\gamma'.
Aplicando esse princípio ao enunciado: o vetor do lado esquerdo é
700\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+3{,}00\,\hat{\mathbf{k}},
porque não aparece componente em \hat{\mathbf{j}}, o que significa componente 0 nessa direção. O lado direito é
A\,\hat{\mathbf{i}}+B\,\hat{\mathbf{j}}+C\,\hat{\mathbf{k}}.
Igualando componentes correspondentes obtemos três equações escalares:
A = 700,
B = 0,
C = 3{,}00.
Portanto A=700,\; B=0,\; C=3{,}00.
Dica prática: quando um vetor não mostra uma certa direção, escreva explicitamente a componente 0 nessa direção e equacione componente a componente.

Passo 4

Respondendo (c): por que isso não é “uma equação só para três incógnitas” e quando uma única equação realmente não basta.
Primeiro, no item (b) a expressão escrita como “uma igualdade de vetores” esconde, na verdade, três equações escalares — uma para cada direção \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\). Ou seja, a igualdade vetorial equivale a um sistema de três equações lineares: \[\begin{cases} A = 700,\\[4pt] B = 0,\\[4pt] C = 3{,}00. \end{cases}
Portanto há exatamente três equações para as três incógnitas — não existe ambiguidade.
Agora, quando uma única equação escalar realmente não é suficiente? Por exemplo, a equação escalar
x+y+z=1
tem três incógnitas e uma única equação independente: isso gera infinitas soluções (grau de liberdade 2). Podemos parametrizar, por exemplo, x=s,\;y=t,\;z=1-s-t\] para quaisquer \(s,t. Então a possibilidade de resolver ou não depende de quantas equações independentes você tem. No caso vetorial de dimensões iguais, a igualdade vetorial fornece automaticamente tantas equações escalares quantas as componentes, o que pode tornar o sistema determinado.
Dica para prova: sempre traduza igualdade vetorial em igualdade componente a componente — isso transforma uma “equação vetorial” em um sistema de equações escalares.]

Passo 5

Analisando (d): igualdade funcional (identidade) para todo x e todo t. Vou proceder com cuidado e explicar as ideias usadas.
A igualdade dada é
A+B\cos(Cx+D t+E)=7{,}00\cos(3x+4t+2),
e é válida para todo x e todo t. Chamo o lado esquerdo de f(x,t) e o direito de g(x,t). Quando dizemos que duas funções são iguais para todos os argumentos, isso significa que seus valores coincidem ponto a ponto no domínio: f(x,t)=g(x,t) para todo (x,t).
  1. Primeiro argumento (médio/constante): a função \cos(\cdot) tem média zero quando se integra (ou faz média) ao longo de um período. Em particular, a média temporal ou espacial do termo \cos(\cdot) é 0. Assim a média (ou valor médio) do lado esquerdo é A (porque média de B\cos(\cdot) é zero) e a média do lado direito é 0. Como as funções são idênticas para todo x,t, suas médias coincidem, logo
A=0.
Explicação simples: o termo constante A é a média do lado esquerdo; o lado direito é uma cossenoide cujo valor médio é zero; logo A deve ser 0.
  1. Com A=0 a identidade fica
B\cos(Cx+D t+E)=7{,}00\cos(3x+4t+2)\qquad\text{para todo }x,t.
Agora precisamos que, para todo x,t, o produto entre B e um cosseno linear seja identicamente igual a 7{,}00 vezes outro cosseno linear. Para que isso ocorra existem basicamente duas estruturas possíveis, usando as propriedades da função cosseno:
  • A cossenoide do primeiro membro coincide com a do segundo (mesma fase e mesma frequência), ou
  • A cossenoide do primeiro membro coincide com a do segundo até um sinal (fase deslocada por \pi), o que muda o sinal do cosseno.
Formalizando: para funções lineares nos argumentos, \cos(\phi_1(x,t)) é igual a \cos(\phi_2(x,t)) para todo x,t apenas se existe uma constante inteira k tal que
\phi_1(x,t)=\phi_2(x,t)+2k\pi \quad\text{ou}\quad \phi_1(x,t)=-\phi_2(x,t)+2k\pi,
pois a função cosseno é par e 2\pi-periódica. Também podemos ter a igualdade com sinal trocado:
\cos(\phi_1)= -\cos(\phi_2)=\cos(\phi_2+\pi),
o que corresponde a um deslocamento de fase por \pi combinado com um ajuste no fator B.
  1. Usando esse raciocínio, escrevo os casos possíveis. Denotando \phi_1=Cx+Dt+E e \phi_2=3x+4t+2, as possibilidades são:
  • Caso (I) (mesma fase): \phi_1=\phi_2+2k\pi para algum inteiro k. Igualando coeficientes em x e t obtemos
C=3,\qquad D=4,
e para a constante do termo livre
E=2+2k\pi.
Neste caso \cos(\phi_1)=\cos(\phi_2) para todo x,t, então os fatores devem satisfazer B=7{,}00.
  • Caso (II) (fase invertida por simetria par): \phi_1=-\phi_2+2k\pi. Igualando coeficientes:
C=-3,\qquad D=-4,
e
E=-2+2k\pi.
Aqui também \cos(\phi_1)=\cos(\phi_2) (porque \cos é par), então precisamos de B=7{,}00.
  • Caso (III) (fase deslocada por \pi, que inverte o sinal do cosseno): \phi_1=\phi_2+\pi+2k\pi. Então
C=3,\qquad D=4,\qquad E=2+\pi+2k\pi.
Mas \cos(\phi_1)=-\cos(\phi_2) nesse caso, então para que B\cos(\phi_1)=7{,}00\cos(\phi_2) precisamos de B=-7{,}00.
  • Caso (IV) (combinação de invertido e deslocado por \pi): \phi_1=-\phi_2+\pi+2k\pi. Então
C=-3,\qquad D=-4,\qquad E=-2+\pi+2k\pi,
e novamente \cos(\phi_1)=-\cos(\phi_2) implicando B=-7{,}00.
  1. Resumindo logicamente: primeiro A tem de ser 0. Depois, para as demais constantes existem famílias de soluções discretas (parâmetros inteiros k\in\mathbb{Z}) que igualam a frequência e fase dos argumentos lineares; isso força C e D a serem \pm 3 e \pm 4 com sinais coincidentes, e E igual ao deslocamento correspondente ( 2 ou -2 mais múltiplos de 2\pi, possivelmente somando \pi quando B muda de sinal). O valor de B é 7{,}00 quando não há inversão de sinal do cosseno; B=-7{,}00 quando há deslocamento de fase por \pi que inverte o sinal.
Dica prática para prova: quando tiver uma identidade envolvendo funções trigonométricas lineares de x e t, compare primeiro médias (para termos constantes), depois compare estruturas de frequência (coeficientes de x e t) e trate a periodicidade ( 2\pi) e a ambiguidade de sinal (deslocamento por \pi).

Resposta

(a) A=40
(b) A=700,\; B=0,\; C=3{,}00
(c) Explicação curta: a igualdade vetorial em \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} equivale a três equações escalares (uma por componente), logo não é “uma equação para três incógnitas” mas sim um sistema de três equações; uma única equação escalar para três incógnitas teria infinitas soluções, mas aqui há três equações independentes.
(d) A=0. Além disso, existem as famílias (com k\in\mathbb{Z}):
B=7{,}00,\; C=3,\; D=4,\; E=2+2k\pi;
B=7{,}00,\; C=-3,\; D=-4,\; E=-2+2k\pi;
B=-7{,}00,\; C=3,\; D=4,\; E=2+\pi+2k\pi;
B=-7{,}00,\; C=-3,\; D=-4,\; E=-2+\pi+2k\pi.

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