(a) Obtenha o valor de
na igualdade escalar
. (b) Obtenha
e
na igualdade de vetores
. (c) Explique como chega às respostas para convencer um estudante que acha que você não pode resolver uma equação única para três incógnitas diferentes. (d) E se? A igualdade ou a identidade funcional
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Vou listar claramente o que cada um pede e as informações dadas.
(a) Pede: obter o valor de
na igualdade escalar
Informação dada: o número
multiplicando a soma
.
(b) Pede: obter
,
e
na igualdade de vetores
Informações dadas: o vetor do lado esquerdo tem componente em
igual a
, componente em
ausente (logo
) e componente em
igual a
.
(c) Pede: explicar por que é possível resolver (b) mesmo parecendo ser “uma equação única para três incógnitas”. Ou seja, convencer um estudante que acha impossível.
(d) Pede: analisar a igualdade funcional (identidade)
e obter informações sobre
(ou explicar as possibilidades) quando essa igualdade vale para todo
e todo
.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Resolvendo (a) passo a passo e ensinando a ideia usada.
Primeiro, lembro a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição: para quaisquer números
,
Aqui
,
,
. Aplicando,
Agora calculo cada produto simples:
e
. Somando,
Portanto o membro esquerdo vale
. Logo o valor procurado é
.
Dica prática para prova: em expressões simples assim, aplique a distributiva ou calcule
e depois
— dá no mesmo. Sempre mostre um dos passos (soma ou distributiva) para justificar.
Passo 3
Resolvendo (b) com explicação didática do que significa igualdade entre vetores.
Conceito-chave: dois vetores em coordenadas cartesianas (no mesmo sistema de base) são iguais se e somente se suas componentes correspondentes são iguais. Ou seja, se
então
Aplicando esse princípio ao enunciado: o vetor do lado esquerdo é
porque não aparece componente em
, o que significa componente
nessa direção. O lado direito é
Igualando componentes correspondentes obtemos três equações escalares:
Portanto
.
Dica prática: quando um vetor não mostra uma certa direção, escreva explicitamente a componente
nessa direção e equacione componente a componente.
Passo 4
Respondendo (c): por que isso não é “uma equação só para três incógnitas” e quando uma única equação realmente não basta.
Primeiro, no item (b) a expressão escrita como “uma igualdade de vetores” esconde, na verdade, três equações escalares — uma para cada direção
Portanto há exatamente três equações para as três incógnitas — não existe ambiguidade.
Agora, quando uma única equação escalar realmente não é suficiente? Por exemplo, a equação escalar
tem três incógnitas e uma única equação independente: isso gera infinitas soluções (grau de liberdade 2). Podemos parametrizar, por exemplo,
. Então a possibilidade de resolver ou não depende de quantas equações independentes você tem. No caso vetorial de dimensões iguais, a igualdade vetorial fornece automaticamente tantas equações escalares quantas as componentes, o que pode tornar o sistema determinado.
Dica para prova: sempre traduza igualdade vetorial em igualdade componente a componente — isso transforma uma “equação vetorial” em um sistema de equações escalares.]
Passo 5
Analisando (d): igualdade funcional (identidade) para todo
e todo
. Vou proceder com cuidado e explicar as ideias usadas.
A igualdade dada é
e é válida para todo
e todo
. Chamo o lado esquerdo de
e o direito de
. Quando dizemos que duas funções são iguais para todos os argumentos, isso significa que seus valores coincidem ponto a ponto no domínio:
para todo
.
- Primeiro argumento (médio/constante): a função
tem média zero quando se integra (ou faz média) ao longo de um período. Em particular, a média temporal ou espacial do termo é . Assim a média (ou valor médio) do lado esquerdo é (porque média de é zero) e a média do lado direito é . Como as funções são idênticas para todo , suas médias coincidem, logo
Explicação simples: o termo constante
é a média do lado esquerdo; o lado direito é uma cossenoide cujo valor médio é zero; logo
deve ser
.
- Com
a identidade fica
Agora precisamos que, para todo
, o produto entre
e um cosseno linear seja identicamente igual a
vezes outro cosseno linear. Para que isso ocorra existem basicamente duas estruturas possíveis, usando as propriedades da função cosseno:
- A cossenoide do primeiro membro coincide com a do segundo (mesma fase e mesma frequência), ou
- A cossenoide do primeiro membro coincide com a do segundo até um sinal (fase deslocada por
), o que muda o sinal do cosseno.
Formalizando: para funções lineares nos argumentos,
é igual a
para todo
apenas se existe uma constante inteira
tal que
pois a função cosseno é par e
-periódica. Também podemos ter a igualdade com sinal trocado:
o que corresponde a um deslocamento de fase por
combinado com um ajuste no fator
.
- Usando esse raciocínio, escrevo os casos possíveis. Denotando
e , as possibilidades são:
- Caso (I) (mesma fase):
para algum inteiro . Igualando coeficientes em e obtemos
e para a constante do termo livre
Neste caso
para todo
, então os fatores devem satisfazer
.
- Caso (II) (fase invertida por simetria par):
. Igualando coeficientes:
e
Aqui também
(porque
é par), então precisamos de
.
- Caso (III) (fase deslocada por
, que inverte o sinal do cosseno): . Então
Mas
nesse caso, então para que
precisamos de
.
- Caso (IV) (combinação de invertido e deslocado por
): . Então
e novamente
implicando
.
- Resumindo logicamente: primeiro
tem de ser . Depois, para as demais constantes existem famílias de soluções discretas (parâmetros inteiros ) que igualam a frequência e fase dos argumentos lineares; isso força e a serem e com sinais coincidentes, e igual ao deslocamento correspondente ( ou mais múltiplos de , possivelmente somando quando muda de sinal). O valor de é quando não há inversão de sinal do cosseno; quando há deslocamento de fase por que inverte o sinal.
Dica prática para prova: quando tiver uma identidade envolvendo funções trigonométricas lineares de
e
, compare primeiro médias (para termos constantes), depois compare estruturas de frequência (coeficientes de
e
) e trate a periodicidade (
) e a ambiguidade de sinal (deslocamento por
).
Resposta
(a)
(b)
(c) Explicação curta: a igualdade vetorial em
equivale a três equações escalares (uma por componente), logo não é “uma equação para três incógnitas” mas sim um sistema de três equações; uma única equação escalar para três incógnitas teria infinitas soluções, mas aqui há três equações independentes.
(d)
. Além disso, existem as famílias (com
):