Uma onda transversal é dada por: y=0,7 \operatorname{sen}[2 x-10 t] onde x e y são dados em cm e t em segundos. (a) escreva a equação da onda que deve ser superposta à equação de onda, equação dada, para que se obtenha uma onda resultante estacionária. (b) Escreva a equação da onda estacionária resultante. (c) Determine a amplitude da onda estacionária resultante. R-(b) y=1,4 \operatorname{sen}(2 x) \cos (10 t);

Passo 1

O enunciado dá a onda viajante
y_1(x,t)=0,7\operatorname{sen}\bigl(2x-10t\bigr)
(com y e x em cm, t em s) e pede:
(a) a onda a ser somada a esta para gerar uma onda estacionária,
(b) a equação desta onda estacionária,
(c) sua amplitude.

Passo 2

Para obter uma onda estacionária, precisamos somar a y_1 uma onda de mesma amplitude, mesma frequência e mesmo número de onda, mas propagando no sentido oposto. Assim escolhemos
y_2(x,t)=0,7\operatorname{sen}\bigl(2x+10t\bigr).

Passo 3

Somando y_1 e y_2 e usando a identidade
\operatorname{sen} A+\operatorname{sen} B=2\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
com A=2x-10t e B=2x+10t, obtemos
y=y_1+y_2 =2\cdot0,7\,\operatorname{sen}(2x)\cos(10t) =1,4\,\operatorname{sen}(2x)\cos(10t).

Passo 4

Na onda estacionária \displaystyle y=1,4\operatorname{sen}(2x)\cos(10t), a amplitude local em cada ponto x é
A(x)=1,4\bigl|\operatorname{sen}(2x)\bigr|.
O valor máximo dessa amplitude, atingido nos ventres (onde \operatorname{sen}(2x)=\pm1), é
A_{\max}=1,4\\ \text{cm}.

Resposta

(a) \displaystyle y_2(x,t)=0,7\operatorname{sen}\bigl(2x+10t\bigr).
(b) \displaystyle y(x,t)=1,4\operatorname{sen}(2x)\cos(10t).
(c) Amplitude máxima \displaystyle A_{\max}=1,4\\ \text{cm}.

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