Uma onda transversal, harmônica e descritas pela função seno, propaga-se no sentido negativo do eixo x com velocidade de 50 cm / s, amplitude de 10 cm e frequência igual a 2,0 Hz. Suponha que ela se some a uma segunda onda. Escreva a expressão para a onda resultante supondo que a segunda onda tenha:
a) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e fase, mas se propague no sentido contrário;
b) mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas uma diferença de fase de pi / 2.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda transversal harmônica de amplitude A=10 cm, frequência f=2,0 Hz e velocidade de propagação v=50 cm/s, indo no sentido negativo de x. Queremos somá-la a uma segunda onda e obter a expressão da onda resultante nos dois casos:
a) segunda onda com mesma A, f, comprimento de onda lambda e fase inicial, mas viajando em sentido oposto;
b) segunda onda com mesma A, f, lambda e v, porém defasada de pi/2.
O conteúdo envolve a equação geral de uma onda harmônica e identidades trigonométricas para soma de senos.

Passo 2

Primeiro calculamos os parâmetros da onda:
omega = 2pi f = 2pi times 2,0 = 4pi rad/s
lambda = vf = 502,0 = 25 cm
k = 2pilambda = 2pi25 cm^-1
Logo a primeira onda é
y1(x,t) = 10 sinl(kx + omega tr) cm
pois ela se propaga para -x.

Passo 3

Caso (a): a segunda onda, com mesmo A, k, omega e fase zero, mas indo para +x, é
y2(x,t) = 10 sinl(kx - omega tr) cm
Somando
y(x,t)=y1+y2 =10l[sin(kx+omega t)+sin(kx-omega t)r]
Usando a identidade
sin(A+B)+sin(A-B)=2sin Acos B
com A=kx e B=omega t, vem
y(x,t)=20,sin(kx),cos(omega t) cm

Passo 4

Caso (b): agora a segunda onda também vai para -x, mas defasada de pi/2:
y2(x,t) = 10 sinl(kx + omega t + pi2r) cm
Somando
y(x,t)=10l[sinalpha + sinl(alpha+tfracpi2r)r],
onde alpha=kx+omega t. Como sin(alpha+pi/2)=cosalpha, temos
y(x,t)=10l[sinalpha+cosalphar]
E usando
sintheta+costheta=raiz2,sin!l(theta+tfracpi4r),
obtemos
y(x,t)=10raiz2,sin!l(kx+omega t+tfracpi4r) cm

Resposta

(a) y(x,t)=20,sin!l(tfrac2pi25xr)cos!l(4pi tr) cm
(b) y(x,t)=10raiz2,sin!l(tfrac2pi25x+4pi t+tfracpi4r) cm

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