Um pêndulo simples, de comprimento de fio
e de massa 600 g , executa MHS. Sabendo que sua energia mecânica total igual a 0.10 J , calcule a amplitude desse oscilador?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pede):
- Comprimento do fio:
. - Massa do pêndulo:
.
Converter para o SI:. - Energia mecânica total:
.
O que se pede: calcular a amplitude do oscilador. Aqui vou interpretar “amplitude” como o deslocamento angular máximo(ângulo máximo em relação à vertical). Também apresentarei, se for útil na prova, a amplitude linear máxima do corpo (arco percorrido: ).
Passo 2
Ideia física e fórmula básica usada (explicada com calma).
Quando o pêndulo atinge a amplitude máxima, a velocidade é nula ali e toda a energia mecânica está em energia potencial gravitacional relativa ao ponto mais baixo. Logo:
Quando o pêndulo atinge a amplitude máxima, a velocidade é nula ali e toda a energia mecânica está em energia potencial gravitacional relativa ao ponto mais baixo. Logo:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a elevação vertical do corpo entre a posição de equilíbrio (mais baixo) e a posição de amplitude. Geometricamente, se o fio tem comprimento
e o ângulo máximo é
, a elevação vertical é
Substituindo em
obtém-se a equação que relaciona energia com a amplitude angular:
Aqui cada símbolo significa:
-
: energia mecânica total dada ( ); -
: massa do pêndulo ( ); -
: aceleração da gravidade ( ); -
: comprimento do fio ( ); -
: amplitude angular (em radianos); -
: cosseno do ângulo.
Passo 3
Isolando
da equação:
Portanto a solução exata é
Na prática, para ângulos pequenos (caso típico de pêndulos de pequenas amplitudes) podemos usar a expansão do cosseno
(expansão em série de Taylor) e obter a forma aproximada fácil de calcular:
Essa aproximação evita precisar do
na prova e é muito usada quando
é pequeno (o que ocorre aqui, porque a energia é pequena em comparação com
).
Passo 4
Agora numericamente. Escolhendo
.
Calcular
:
Calcular a razão:
Usando a aproximação para
:
Converter para graus (útil para intuição):
Amplitude linear máxima (arco):
:
Observação sobre precisão: a solução exata pela fórmula com
daria um valor muito próximo do obtido pela aproximação (diferença desprezível aqui), porque
é pequeno.