Um pêndulo simples, de comprimento de fio 1,20 \mathrm{~m} e de massa 600 g , executa MHS. Sabendo que sua energia mecânica total igual a 0.10 J , calcule a amplitude desse oscilador?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pede):
  • Comprimento do fio: L=1,20\\ \mathrm{m}.
  • Massa do pêndulo: m=600\\ \mathrm{g}.
    Converter para o SI: m=0,600\\ \mathrm{kg}.
  • Energia mecânica total: E_{\text{tot}}=0,10\\ \mathrm{J}.
    O que se pede: calcular a amplitude do oscilador. Aqui vou interpretar “amplitude” como o deslocamento angular máximo \theta_{\max} (ângulo máximo em relação à vertical). Também apresentarei, se for útil na prova, a amplitude linear máxima do corpo s_{\max} (arco percorrido: s_{\max}=L\theta_{\max}).

Passo 2

Ideia física e fórmula básica usada (explicada com calma).
Quando o pêndulo atinge a amplitude máxima, a velocidade é nula ali e toda a energia mecânica está em energia potencial gravitacional relativa ao ponto mais baixo. Logo:
E_{\text{tot}}=\Delta U = m g h,
onde g é a aceleração da gravidade e h é a elevação vertical do corpo entre a posição de equilíbrio (mais baixo) e a posição de amplitude. Geometricamente, se o fio tem comprimento L e o ângulo máximo é \theta_{\max}, a elevação vertical é
h = L - L\cos\theta_{\max} = L\bigl(1-\cos\theta_{\max}\bigr).
Substituindo em E_{\text{tot}}=m g h obtém-se a equação que relaciona energia com a amplitude angular:
E_{\text{tot}}=m g L\bigl(1-\cos\theta_{\max}\bigr).
Aqui cada símbolo significa:
  • E_{\text{tot}}: energia mecânica total dada ( \mathrm{J});
  • m: massa do pêndulo ( \mathrm{kg});
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2});
  • L: comprimento do fio ( \mathrm{m});
  • \theta_{\max}: amplitude angular (em radianos);
  • \cos\theta_{\max}: cosseno do ângulo.

Passo 3

Isolando \theta_{\max} da equação:
1-\cos\theta_{\max}=\dfrac{E_{\text{tot}}}{m g L} \qquad\Rightarrow\qquad \cos\theta_{\max}=1-\dfrac{E_{\text{tot}}}{m g L}.
Portanto a solução exata é
\theta_{\max}=\operatorname{arccos}\!\left(1-\dfrac{E_{\text{tot}}}{m g L}\right).
Na prática, para ângulos pequenos (caso típico de pêndulos de pequenas amplitudes) podemos usar a expansão do cosseno \cos\theta\approx 1-\dfrac{\theta^2}{2} (expansão em série de Taylor) e obter a forma aproximada fácil de calcular:
1-\cos\theta_{\max}\approx \dfrac{\theta_{\max}^2}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \theta_{\max}\approx\sqrt{\dfrac{2E_{\text{tot}}}{m g L}}.
Essa aproximação evita precisar do \operatorname{arccos} na prova e é muito usada quando 1-\cos\theta é pequeno (o que ocorre aqui, porque a energia é pequena em comparação com m g L).

Passo 4

Agora numericamente. Escolhendo g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calcular m g L:
m g L = 0,600\cdot 9,8 \cdot 1,20 = 7,056\\ \mathrm{J}.
Calcular a razão:
\dfrac{E_{\text{tot}}}{m g L} = \dfrac{0,10}{7,056}\approx 0,01417.
Usando a aproximação para \theta_{\max}:
\theta_{\max}\approx\sqrt{\dfrac{2\cdot 0,10}{7,056}}=\sqrt{0,028346\ldots}\approx 0,1683\\ \text{rad}.
Converter para graus (útil para intuição):
\theta_{\max}\\ (\text{em graus}) \approx 0,1683\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx 9,65^\circ.
Amplitude linear máxima (arco): s_{\max}=L\theta_{\max}:
s_{\max}\approx 1,20\cdot 0,1683\approx 0,202\\ \mathrm{m}.
Observação sobre precisão: a solução exata pela fórmula com \operatorname{arccos} daria um valor muito próximo do obtido pela aproximação (diferença desprezível aqui), porque 1-\cos\theta_{\max} é pequeno.

Resposta

\theta_{\max}\approx 0,168\\ \text{rad}\approx 9,65^\circ
s_{\max}\approx 0,202\\ \mathrm{m}

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