Em um oscilador forçado a constante de força é igual a
e a constante de amortecimento é igual a
. Ele está em ressonância com uma força externa,
. Calcule:
a) a massa desse oscilador;
b) velocidade máxima do objeto que oscila.
a) a massa desse oscilador;
b) velocidade máxima do objeto que oscila.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Constante da mola:
. - Constante de amortecimento (coeficiente viscoso):
. - Força externa:
. Logo a amplitude da força é e a frequência angular de excitação é . - Afirmação: o sistema “está em ressonância” com essa força externa.
O que se pede:
(a) determinar a massa do oscilador;
(b) calcular a velocidade máxima do objeto que oscila (ou seja, a amplitude da velocidade no regime estacionário).
(a) determinar a massa
(b) calcular a velocidade máxima do objeto que oscila (ou seja, a amplitude da velocidade no regime estacionário).
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento do oscilador forçado amortecido:
Aqui:
-
é o deslocamento; -
é a massa procurada; -
é o coeficiente de amortecimento (unidade ); -
é a constante elástica (unidade ); -
é a amplitude da força forçante; -
é a frequência angular da força aplicada.
No regime estacionário (solução particular), procuramos uma solução do tipo
onde
é a amplitude estacionária do deslocamento e
é o deslocamento de fase. Vamos derivar
de forma direta e didática.
Calcule
e
:
Substituindo em
e usando identidades de cosseno/deslocamento (igualando as componentes em
e
) chega-se à expressão padrão (esta é uma fórmula conhecida; aqui foi obtida por combinação das componentes real e imaginária da resposta forçada):
Explicando: o numerador é a força aplicada e o denominador é a “impedância” efetiva do sistema na frequência
; o termo
vem da parte elástica/inercial e
da parte dissipativa.
A amplitude da velocidade estacionária vale simplesmente
Passo 3
O que significa “ressonância” neste contexto? Existem duas noções comumente usadas:
- (i) frequência de ressonância como a frequência que maximiza a amplitude do deslocamento
. Para um sistema amortecido essa frequência é
- (ii) em muitos problemas introdutórios (e quando o amortecimento é pequeno), toma-se a condição de ressonância como
(a frequência natural não amortecida), o que simplifica muito as contas e é a aproximação usual em provas.
Aqui, para manter o método simples e direto (e porque é o método mais básico que o enunciado provavelmente espera), vamos adotar a interpretação prática usual: a força externa tem
igual à frequência natural
. Além disso essa escolha conecta com a fórmula simples para a velocidade máxima no regime estacionário que veremos a seguir. (Se desejarmos, poderia resolver exatamente pela condição do item (i) — daria uma equação quadrática em
com duas raízes — mas isso é mais trabalhoso e não parece o objetivo didático deste exercício.)
Portanto assumimos:
Passo 4
Usando
e substituindo
, obtemos
Agora os números:
Interpretação: essa é a massa que faz com que a frequência natural não amortecida seja
.
Passo 5
Agora calculamos a velocidade máxima no regime estacionário quando a excitação está na ressonância
. Observe na expressão de
que, se
for tal que
(ou seja,
), a amplitude de deslocamento simplifica para
A amplitude da velocidade é então
Note que esse resultado é elegante: na ressonância (na aproximação
) a amplitude da velocidade depende só da razão
, não de
nem de
.
Substituindo os valores numéricos:
Significado físico: a velocidade oscila sinusoidalmente em torno de zero com amplitude
; essa é a velocidade máxima atingida durante o movimento estacionário.
Resposta
(a)
(b)
(b)