Em um oscilador forçado a constante de força é igual a 50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a constante de amortecimento é igual a 2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Ele está em ressonância com uma força externa, F(t)=(6,0 \mathrm{~N}) \cos ((10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t). Calcule:
a) a massa desse oscilador;
b) velocidade máxima do objeto que oscila.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Constante da mola: k = 50\\ \mathrm{N/m}.
  • Constante de amortecimento (coeficiente viscoso): b = 2{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Força externa: F(t) = (6{,}0\\ \mathrm{N})\cos\big((10\\ \mathrm{rad/s})\,t\big). Logo a amplitude da força é F_0 = 6{,}0\\ \mathrm{N} e a frequência angular de excitação é \omega = 10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Afirmação: o sistema “está em ressonância” com essa força externa.
O que se pede:
(a) determinar a massa m do oscilador;
(b) calcular a velocidade máxima do objeto que oscila (ou seja, a amplitude da velocidade no regime estacionário).

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento do oscilador forçado amortecido:
m\ddot x + b\dot x + kx = F_0\cos(\omega t).
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento;
  • m é a massa procurada;
  • b é o coeficiente de amortecimento (unidade \mathrm{kg/s});
  • k é a constante elástica (unidade \mathrm{N/m});
  • F_0 é a amplitude da força forçante;
  • \omega é a frequência angular da força aplicada.
No regime estacionário (solução particular), procuramos uma solução do tipo
x_p(t)=X\cos(\omega t-\delta),
onde X é a amplitude estacionária do deslocamento e \delta é o deslocamento de fase. Vamos derivar X de forma direta e didática.
Calcule \dot x_p e \ddot x_p:
\dot x_p(t)=-\omega X\sin(\omega t-\delta),\qquad \ddot x_p(t)=-\omega^2 X\cos(\omega t-\delta).
Substituindo em m\ddot x + b\dot x + kx = F_0\cos(\omega t) e usando identidades de cosseno/deslocamento (igualando as componentes em \cos e \sin) chega-se à expressão padrão (esta é uma fórmula conhecida; aqui foi obtida por combinação das componentes real e imaginária da resposta forçada):
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}}.
Explicando: o numerador é a força aplicada e o denominador é a “impedância” efetiva do sistema na frequência \omega; o termo (k-m\omega^2) vem da parte elástica/inercial e (b\omega) da parte dissipativa.
A amplitude da velocidade estacionária vale simplesmente
V(\omega)=\omega\,X(\omega)=\frac{\omega F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}}.

Passo 3

O que significa “ressonância” neste contexto? Existem duas noções comumente usadas:
  • (i) frequência de ressonância como a frequência que maximiza a amplitude do deslocamento X(\omega). Para um sistema amortecido essa frequência é
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{b^2}{2m^2}},\qquad\text{onde }\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • (ii) em muitos problemas introdutórios (e quando o amortecimento é pequeno), toma-se a condição de ressonância como \omega=\omega_0 (a frequência natural não amortecida), o que simplifica muito as contas e é a aproximação usual em provas.
Aqui, para manter o método simples e direto (e porque é o método mais básico que o enunciado provavelmente espera), vamos adotar a interpretação prática usual: a força externa tem \omega igual à frequência natural \omega_0=\sqrt{k/m}. Além disso essa escolha conecta com a fórmula simples para a velocidade máxima no regime estacionário que veremos a seguir. (Se desejarmos, poderia resolver exatamente pela condição do item (i) — daria uma equação quadrática em m com duas raízes — mas isso é mais trabalhoso e não parece o objetivo didático deste exercício.)
Portanto assumimos:
\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 4

Usando \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} e substituindo \omega = 10\\ \mathrm{rad/s}, obtemos
m = \frac{k}{\omega^2}.
Agora os números:
m = \frac{50\\ \mathrm{N/m}}{(10\\ \mathrm{rad/s})^2} = \frac{50}{100}\\ \mathrm{kg} = 0{,}50\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: essa é a massa que faz com que a frequência natural não amortecida seja 10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora calculamos a velocidade máxima no regime estacionário quando a excitação está na ressonância \omega=\omega_0. Observe na expressão de X(\omega) que, se \omega for tal que k-m\omega^2=0 (ou seja, \omega=\omega_0), a amplitude de deslocamento simplifica para
X_{\text{res}} = \frac{F_0}{b\omega_0}.
A amplitude da velocidade é então
V_{\text{max}} = \omega_0 X_{\text{res}} = \frac{F_0}{b}.
Note que esse resultado é elegante: na ressonância (na aproximação \omega=\omega_0) a amplitude da velocidade depende só da razão F_0/b, não de m nem de k.
Substituindo os valores numéricos:
V_{\text{max}} = \frac{F_0}{b} = \frac{6{,}0\\ \mathrm{N}}{2{,}0\\ \mathrm{kg/s}} = 3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Significado físico: a velocidade oscila sinusoidalmente em torno de zero com amplitude 3{,}0\\ \mathrm{m/s}; essa é a velocidade máxima atingida durante o movimento estacionário.

Resposta

(a) m = 0{,}50\\ \mathrm{kg}
(b) V_{\text{máx}} = 3{,}0\\ \mathrm{m/s}á

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