3.6. Ondas estacionárias: Duas ondas que propagam em sentidos opostos produzem a seguinte onda estacionária:
y(x, t)=(0,5 c m) \operatorname{sen}\left[\left(\frac{\pi}{3} c m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(40 \pi s^{-1}\right) t\right]
A partir da onda estacionária acima indique a amplitude e calcule o módulo da velocidade de propagação de cada onda original. Qual é a distância entre dois nós nessa onda?

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t) = \bigl(0,5\,\mathrm{cm}\bigr)\,\sin\!\Bigl[\bigl(\tfrac{\pi}{3}\,\mathrm{cm}^{-1}\bigr)x\Bigr]\cos\!\Bigl[\bigl(40\pi\,\mathrm{s}^{-1}\bigr)t\Bigr]
e pede (i) a amplitude, (ii) a velocidade de propagação de cada onda original e (iii) a distância entre dois nós. Vamos usar as definições de número de onda k, frequência angular \omega, a relação v=\omega/k e o fato de que a separação entre nós é \lambda/2 com \lambda=2\pi/k.

Passo 2

Identificamos diretamente na expressão:
- Amplitude A=0,5\,\mathrm{cm}.
- Número de onda \displaystyle k=\tfrac{\pi}{3}\,\mathrm{cm}^{-1}.
- Frequência angular \displaystyle \omega=40\pi\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

A velocidade de cada onda que se propaga (antes de formar a estacionária) é
v = \frac{\omega}{k} = \frac{40\pi}{\pi/3}\,\mathrm{cm/s} =120\,\mathrm{cm/s} =1,2\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

O comprimento de onda é
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/3}\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}.
Como os nós de uma onda estacionária ficam distanciados de meia-onda entre si, a separação entre dois nós é
\Delta x_{\text{nós}} = \frac{\lambda}{2} = 3\,\mathrm{cm}.ó

Resposta

Amplitude: 0,5\,\mathrm{cm}
Velocidade de cada onda original: 1,2\,\mathrm{m/s}
Distância entre dois nós: 3\,\mathrm{cm}

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