8-4 ondas luminosas de mesma amplitude se combinam em pontos do espaço (ou seja, interferência), sabendo que essas ondas possuem a mesma frequência e a diferença de fase entre elas é respectivamente 30,45 e -60 graus, determine a função de onda resultante (campo E e B) do mesmo ponto do espaço.
Passo 1
O enunciado diz que várias ondas luminosas de mesma amplitude se combinam num mesmo ponto do espaço (interferência). Elas têm a mesma frequência e as diferenças de fase entre elas são, respectivamente,
,
e
.
O que se pede: determinar a função de onda resultante (campo elétrico e campo magnético
) no mesmo ponto do espaço.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas a partir do enunciado, já que não há mais dados):
O que se pede: determinar a função de onda resultante (campo elétrico
Informações relevantes que vamos usar (assumidas a partir do enunciado, já que não há mais dados):
- Há uma onda de referência com fase
mais três ondas cujas fases relativas à referência são , e . Ou seja, temos quatro ondas com fases . - Todas as ondas têm a mesma amplitude (vou chamar essa amplitude de
). - Todas têm a mesma frequência angular
. - Vou assumir que as quatro ondas estão co-polarizadas (mesma direção do campo elétrico) e chegam ao ponto com o mesmo vetor de propagação — assim os campos somam escalarmente (isso é o caso mais típico quando se fala simplesmente “se combinam no ponto”).
- Para o campo magnético usarei a relação usual das ondas eletromagnéticas em vácuo: a amplitude de
é e a direção de é ortogonal a e à direção de propagação.
Passo 2
Representação de cada onda e a ideia do método (phasors).
Cada onda elétrica no ponto pode ser escrita como
Cada onda elétrica no ponto pode ser escrita como
onde
é a amplitude comum,
é a frequência angular e
é a fase da onda
. Para somar várias ondas com mesma
é muito prático usar representação complexa (phasors): escrevemos
A soma das ondas será
onde definimos o somatório complexo (phasor total)
A grande vantagem: o fator
é comum a todas, então somamos apenas os vetores complexos
. Depois transformamos o resultado em uma amplitude única e uma fase única:
Vou aplicar esse procedimento às quatro fases dadas.
Passo 3
Converter ângulos para radianos e escrever os phasors conhecidos.
As fases (em graus) são . Em radianos:
As fases (em graus) são
Os phasors são
com esses
. Usando as razões trigonométricas exatas para esses ângulos:
Passo 4
Somar os phasors componente a componente (partes real e imaginária).
Somatório :
Somatório
Agrupando parte real e imaginária:
Numericamente (para facilitar a intuição):
logo
Passo 5
Calcular amplitude
e fase
.
A amplitude é
A amplitude é
Usando os valores acima obtemos
A fase (ângulo do phasor resultante) é
Interpretação física: a soma das quatro ondas de mesma amplitude
resulta em uma única oscilação de mesma frequência com amplitude aumentada por um fator
e com uma fase deslocada em cerca de
em relação à onda de referência.
Passo 6
Escrever a função de onda resultante do campo elétrico no ponto (forma temporal).
No ponto fixo do espaço (sem dependência espacial escrita), o campo elétrico resultante é
No ponto fixo do espaço (sem dependência espacial escrita), o campo elétrico resultante é
Substituindo os valores numéricos:
Para ficar explícito sobre direção: se as ondas eram polarizadas na direção
e propagavam ao longo de
, escrevemos o vetor
Observação: a fase pode também ser dada em graus:
.
Passo 7
Determinar o campo magnético resultante.
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo com vetor de propagação e campo elétrico em
, o campo magnético é
. Assim, se
resultante está em
, então
estará em
com amplitude
e mesma fase. Logo,
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo com vetor de propagação
Isto é, o campo magnético tem a mesma dependência temporal (mesma fase) e amplitude reduzida por
.