8-4 ondas luminosas de mesma amplitude se combinam em pontos do espaço (ou seja, interferência), sabendo que essas ondas possuem a mesma frequência e a diferença de fase entre elas é respectivamente 30,45 e -60 graus, determine a função de onda resultante (campo E e B) do mesmo ponto do espaço.

Passo 1

O enunciado diz que várias ondas luminosas de mesma amplitude se combinam num mesmo ponto do espaço (interferência). Elas têm a mesma frequência e as diferenças de fase entre elas são, respectivamente, 30^\circ, 45^\circ e -60^\circ.
O que se pede: determinar a função de onda resultante (campo elétrico E e campo magnético B) no mesmo ponto do espaço.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas a partir do enunciado, já que não há mais dados):
  • Há uma onda de referência com fase 0^\circ mais três ondas cujas fases relativas à referência são 30^\circ, 45^\circ e -60^\circ. Ou seja, temos quatro ondas com fases \{0^\circ,\,30^\circ,\,45^\circ,\,-60^\circ\}.
  • Todas as ondas têm a mesma amplitude (vou chamar essa amplitude de \,E_0).
  • Todas têm a mesma frequência angular \omega.
  • Vou assumir que as quatro ondas estão co-polarizadas (mesma direção do campo elétrico) e chegam ao ponto com o mesmo vetor de propagação — assim os campos somam escalarmente (isso é o caso mais típico quando se fala simplesmente “se combinam no ponto”).
  • Para o campo magnético usarei a relação usual das ondas eletromagnéticas em vácuo: a amplitude de B é \,E/c e a direção de B é ortogonal a E e à direção de propagação.

Passo 2

Representação de cada onda e a ideia do método (phasors).
Cada onda elétrica no ponto pode ser escrita como
E_j(t)=E_0\cos\bigl(\omega t+\phi_j\bigr),
onde \,E_0 é a amplitude comum, \omega é a frequência angular e \phi_j é a fase da onda j. Para somar várias ondas com mesma \omega é muito prático usar representação complexa (phasors): escrevemos
E_j(t)=\Re\{E_0 e^{i(\omega t+\phi_j)}\}=\Re\{(E_0 e^{i\phi_j})e^{i\omega t}\}.
A soma das ondas será
E_{\text{tot}}(t)=\Re\left\{ \left(\sum_j E_0 e^{i\phi_j}\right)e^{i\omega t}\right\} = E_0\Re\{S\,e^{i\omega t}\},
onde definimos o somatório complexo (phasor total)
S=\sum_j e^{i\phi_j}.
A grande vantagem: o fator e^{i\omega t} é comum a todas, então somamos apenas os vetores complexos e^{i\phi_j}. Depois transformamos o resultado em uma amplitude única e uma fase única:
E_{\text{tot}}(t)=E_0\,|S|\cos\bigl(\omega t+\arg S\bigr).
Vou aplicar esse procedimento às quatro fases dadas.

Passo 3

Converter ângulos para radianos e escrever os phasors conhecidos.
As fases (em graus) são \{0^\circ,\,30^\circ,\,45^\circ,\,-60^\circ\}. Em radianos:
30^\circ=\frac{\pi}{6},\qquad 45^\circ=\frac{\pi}{4},\qquad -60^\circ=-\frac{\pi}{3}.
Os phasors são e^{i\varphi} com esses \varphi. Usando as razões trigonométricas exatas para esses ângulos:
e^{i0}=1,
e^{i\pi/6}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},
e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2},
e^{-i\pi/3}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Somar os phasors componente a componente (partes real e imaginária).
Somatório S:
S=1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{i\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Agrupando parte real e imaginária:
\Re S = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2},
\Im S = 0+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}.
Numericamente (para facilitar a intuição):
\Re S \approx 3{,}073132185,\qquad \Im S \approx 0{,}3410813774,
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S\approx 3{,}073132185 + i\,0{,}3410813774.

Passo 5

Calcular amplitude |S| e fase \arg S.
A amplitude é
|S|=\sqrt{(\Re S)^2+(\Im S)^2}.
Usando os valores acima obtemos
|S|\approx 3{,}09200\qquad(\text{aprox. }3{,}092).
A fase (ângulo do phasor resultante) é
\arg S=\arctan\!\left(\frac{\Im S}{\Re S}\right)\approx \arctan(0{,}1110)\approx 0{,}1107\\ \text{rad}\approx 6{,}343^\circ.
Interpretação física: a soma das quatro ondas de mesma amplitude E_0 resulta em uma única oscilação de mesma frequência com amplitude aumentada por um fator |S|\approx 3{,}092 e com uma fase deslocada em cerca de 6{,}34^\circ em relação à onda de referência.

Passo 6

Escrever a função de onda resultante do campo elétrico no ponto (forma temporal).
No ponto fixo do espaço (sem dependência espacial escrita), o campo elétrico resultante é
E_{\text{tot}}(t)=E_0\,|S|\cos\bigl(\omega t+\arg S\bigr).
Substituindo os valores numéricos:
E_{\text{tot}}(t)\approx E_0\,(3{,}092)\cos\bigl(\omega t+0{,}1107\bigr).
Para ficar explícito sobre direção: se as ondas eram polarizadas na direção \hat{x} e propagavam ao longo de \hat{z}, escrevemos o vetor
\mathbf{E}_{\text{tot}}(t)\approx E_0\,(3{,}092)\cos\bigl(\omega t+0{,}1107\bigr)\,\hat{x}.
Observação: a fase pode também ser dada em graus: 0{,}1107\\ \text{rad}\approx 6{,}343^\circ.

Passo 7

Determinar o campo magnético resultante.
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo com vetor de propagação \hat{z} e campo elétrico em \hat{x}, o campo magnético é \mathbf{B}=\frac{1}{c}\hat{z}\times\mathbf{E}. Assim, se \mathbf{E} resultante está em \hat{x}, então \mathbf{B} estará em \hat{y} com amplitude \,E_{\text{amplitude}}/c e mesma fase. Logo,
\mathbf{B}_{\text{tot}}(t)\approx \frac{E_0\,(3{,}092)}{c}\cos\bigl(\omega t+0{,}1107\bigr)\,\hat{y}.
Isto é, o campo magnético tem a mesma dependência temporal (mesma fase) e amplitude reduzida por c.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}_{\text{tot}}(t)=E_0\,(3{,}092)\cos\bigl(\omega t+0{,}1107\bigr)\,\hat{x}\n
\displaystyle \mathbf{B}_{\text{tot}}(t)=\frac{E_0\,(3{,}092)}{c}\cos\bigl(\omega t+0{,}1107\bigr)\,\hat{y}

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