Ondas sonoras de 1000 Hz e com amplitude de deslocamento de
produzem uma amplitude de pressão igual a
viajando no ar. a) Qual deveria ser a freqüência para que a amplitude de pressão fosse de 30 Pa ? b) E se a onda viajasse na água (
), qual deveria ser a amplitude de deslocamento para que se tivesse a mesma amplitude de pressão?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (tudo em uma onda sonora harmônica e progressiva no ar):
- frequência inicial
. - amplitude de deslocamento (amplitude da oscilação das partículas)
. - amplitude de pressão correspondente
.
Perguntas:
a) Qual deve ser a nova frequência (na mesma condição do ar) para que a amplitude de pressão seja
?
b) Se a onda viajasse na água (velocidade dada ), qual deveria ser a amplitude de deslocamento
para obter a mesma amplitude de pressão
?
a) Qual deve ser a nova frequência
b) Se a onda viajasse na água (velocidade dada
Observação: não foi dada a densidade do ar/água explicitamente; usarei que para a água
(valor padrão); para o ar não precisamos do seu valor porque a parte (a) pode ser feita por proporcionalidade usando os dados dados.
Passo 2
Fórmula-chave e por que ela vale (aula rápida): para uma onda sonora harmônica plana, a amplitude da pressão
está ligada à amplitude do deslocamento
por
O que significa cada termo:
-
é a densidade do meio (kg/m ). -
é a velocidade de propagação do som no meio (m/s). -
é a frequência angular da onda, e vale (rad/s), onde é a frequência em Hz. -
é a amplitude do deslocamento das partículas do meio (m).
Por que essa relação? Rápido derivativo físico: o movimento das partículas é
; a velocidade de partícula tem amplitude
. A perturbação de pressão associada a uma onda progressiva vale
. Substituindo
obtemos a fórmula acima. Então, para um mesmo meio e mesma amplitude de deslocamento, a amplitude de pressão cresce linearmente com
(e portanto com
), porque
.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) por proporcionalidade (maneira mais simples usando os dados já fornecidos): como
, se
,
e
são os mesmos, então
é proporcional a
. Logo
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos (usando os dados do enunciado):
Calculemos a razão:
Portanto
Interpretação curta: para manter a mesma amplitude de deslocamento e aumentar a amplitude de pressão em fator
, a frequência precisa aumentar também em fator
.
Passo 4
Agora a parte (b). Queremos a amplitude de deslocamento
que, numa onda viajando na água com velocidade
e na mesma frequência
(a frequência encontrada em (a)), produza amplitude de pressão
.
Usamos a relação
Para a água tomo
(valor padrão). A frequência angular é
Agora calculemos o denominador
:
Multiplicando:
Unidades:
que combinam para dar pressão sobre deslocamento. Agora a amplitude de deslocamento:
Fazendo a divisão:
Arredondando para dois algarismos significativos dá
.
Passo 5
Resumo interpretativo (rápido e motivador): a) precisamos subir a frequência para ultrassom muito alto (da ordem de
) para aumentar a pressão mantendo o mesmo deslocamento; b) na água, por ser muito mais rígida (produto
grande), a mesma pressão de
exige deslocamentos extremamente pequenos (ordem de
). Dá pra ficar desanimado com números tão pequenos? Relaxa — é normal na acústica: pressões perceptíveis podem corresponder a deslocamentos microscópicos.