Ondas sonoras de 1000 Hz e com amplitude de deslocamento de 1,2.10^{-8} \mathrm{~m} produzem uma amplitude de pressão igual a 3.10^{-2} \mathrm{~Pa} viajando no ar. a) Qual deveria ser a freqüência para que a amplitude de pressão fosse de 30 Pa ? b) E se a onda viajasse na água ( \mathrm{v}=1480 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ), qual deveria ser a amplitude de deslocamento para que se tivesse a mesma amplitude de pressão?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tudo em uma onda sonora harmônica e progressiva no ar):
  • frequência inicial \,f_{1}=1000\\ \mathrm{Hz}.
  • amplitude de deslocamento (amplitude da oscilação das partículas) \;s_{1}=1{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
  • amplitude de pressão correspondente \;p_{1}=3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}.
Perguntas:
a) Qual deve ser a nova frequência \,f_{2} (na mesma condição do ar) para que a amplitude de pressão seja \;p_{2}=30\\ \mathrm{Pa}?
b) Se a onda viajasse na água (velocidade dada \,v_{\text{água}}=1480\\ \mathrm{m/s}á), qual deveria ser a amplitude de deslocamento \,s_{\text{água}}á para obter a mesma amplitude de pressão \;p_{2}=30\\ \mathrm{Pa}?
Observação: não foi dada a densidade do ar/água explicitamente; usarei que para a água \rho_{\text{água}}\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (valor padrão); para o ar não precisamos do seu valor porque a parte (a) pode ser feita por proporcionalidade usando os dados dados.

Passo 2

Fórmula-chave e por que ela vale (aula rápida): para uma onda sonora harmônica plana, a amplitude da pressão p_{\max} está ligada à amplitude do deslocamento s_{\max} por
p_{\max}=\rho\,v\,\omega\,s_{\max}.
O que significa cada termo:
  • \rho é a densidade do meio (kg/m ^3).
  • v é a velocidade de propagação do som no meio (m/s).
  • \omega é a frequência angular da onda, e vale \omega=2\pi f (rad/s), onde f é a frequência em Hz.
  • s_{\max} é a amplitude do deslocamento das partículas do meio (m).
Por que essa relação? Rápido derivativo físico: o movimento das partículas é \xi(t)=s_{\max}\sin(\omega t-\dots); a velocidade de partícula tem amplitude u_{\max}=\omega s_{\max}. A perturbação de pressão associada a uma onda progressiva vale p_{\max}=\rho v\,u_{\max}. Substituindo u_{\max} obtemos a fórmula acima. Então, para um mesmo meio e mesma amplitude de deslocamento, a amplitude de pressão cresce linearmente com \omega (e portanto com f), porque p_{\max}\propto\omega s_{\max}.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) por proporcionalidade (maneira mais simples usando os dados já fornecidos): como p_{\max}=\rho v (2\pi f) s, se \rho, v e s são os mesmos, então p é proporcional a f. Logo
\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{f_{2}}{f_{1}}.
Isolando f_{2}:
f_{2}=f_{1}\,\frac{p_{2}}{p_{1}}.
Substituindo os valores numéricos (usando os dados do enunciado):
f_{2}=1000\\ \mathrm{Hz}\times\frac{30\\ \mathrm{Pa}}{3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}}.
Calculemos a razão:
\frac{30}{3{,}0\times10^{-2}}=\frac{30}{0{,}03}=1000.
Portanto
f_{2}=1000\\ \mathrm{Hz}\times1000=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação curta: para manter a mesma amplitude de deslocamento e aumentar a amplitude de pressão em fator 1000, a frequência precisa aumentar também em fator 1000.

Passo 4

Agora a parte (b). Queremos a amplitude de deslocamento \,s_{\text{água}}á que, numa onda viajando na água com velocidade \,v_{\text{água}}=1480\\ \mathrm{m/s}á e na mesma frequência \,f_{2}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} (a frequência encontrada em (a)), produza amplitude de pressão p_{2}=30\\ \mathrm{Pa}.
Usamos a relação
s=\frac{p}{\rho v \omega}.
Para a água tomo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (valor padrão). A frequência angular é
\omega=2\pi f_{2}=2\pi(1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz})=2\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora calculemos o denominador \rho v \omega:
\rho_{\text{água}}\,v_{\text{água}}=1000\cdot1480=1{,}48\times10^{6}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}.áá
\omega=2\pi\times10^{6}\approx6{,}283185\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Multiplicando:
\rho v \omega \approx 1{,}48\times10^{6}\times6{,}283185\times10^{6} \approx9{,}296\times10^{12}.
Unidades: \mathrm{kg/(m^{2}s)}\times\mathrm{rad/s}=\mathrm{kg/(m^{2}s^{2})} que combinam para dar pressão sobre deslocamento. Agora a amplitude de deslocamento:
s_{\text{água}}=\frac{p_{2}}{\rho v \omega}=\frac{30}{9{,}296\times10^{12}}\\ \mathrm{m}.á
Fazendo a divisão:
s_{\text{água}}\approx3{,}23\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.á
Arredondando para dois algarismos significativos dá \;s_{\text{água}}\approx3{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{m}á.

Passo 5

Resumo interpretativo (rápido e motivador): a) precisamos subir a frequência para ultrassom muito alto (da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{Hz}) para aumentar a pressão mantendo o mesmo deslocamento; b) na água, por ser muito mais rígida (produto \rho v grande), a mesma pressão de 30\\ \mathrm{Pa} exige deslocamentos extremamente pequenos (ordem de 10^{-12}\\ \mathrm{m}). Dá pra ficar desanimado com números tão pequenos? Relaxa — é normal na acústica: pressões perceptíveis podem corresponder a deslocamentos microscópicos.

Resposta

f_{2}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}
s_{\text{água}}\approx3{,}23\times10^{-12}\\ \mathrm{m}á

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