, onde a água está parada, e a ejeta na superfície com velocidade
fazendo um ângulo
com a horizontal em um sistema de irrigação. Estima-se que
(dez por cento) do trabalho da bomba seja gasto para vencer forças dissipativas, como atrito nas partes internas, resistência nos canos, etc. Podem, então, realizar trabalho a bomba, a gravidade e as forças de resistência. Calcule
- a potência média necessária,
para a bomba levar uma massa
de água desde o ponto onde é captada até fazê-la jorrar com velocidade
na superfície do reservatório, e
- a potència média da força peso,
nesse processo.
Dê suas respostas em termos de
e
que julgar necessárias:
Escolha uma opção:
-
-
-
1.
-
1.
-
1.
-
1.
-
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados e condições:
- Dados: massa de água
que é elevada, profundidade (altura) até a superfície , velocidade de ejeção na superfície , ângulo de ejeção com a horizontal, tempo total do processo , aceleração da gravidade . - Condição importante:
do trabalho realizado pela bomba é perdido em forças dissipativas (atrito, resistência dos canos, etc.). - Perguntas:
- Calcular a potência média necessária da bomba,
, para levar a massa desde o ponto onde é captada até fazê-la jorrar com velocidade na superfície. - Calcular a potência média da força peso,
, no mesmo processo.
- Calcular a potência média necessária da bomba,
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática e intuitiva):
- Trabalho e energia mecânica: quando a água passa de um estado inicial (parada, a profundidade
) para um estado final (na superfície com velocidade ), sua energia mecânica mudou. Essa variação de energia mecânica é a soma do ganho de energia cinética e do ganho de energia potencial gravitacional. - Energia cinética de uma massa
com velocidade é . Aqui é a velocidade escalar total (não importa a direção). - Energia potencial gravitacional ganha ao subir uma altura
é . - Potência média é trabalho (ou energia transferida) dividido pelo tempo:
. - Perda por dissipação: se a bomba realiza trabalho
, desse trabalho é perdido; portanto a energia útil entregue ao fluido é de .
Passo 3
Calcular a variação total de energia mecânica da água entre estado inicial e final:
- Energia cinética final:
. - Energia potencial final (referência no ponto de captação):
. - Energia mecânica inicial (água parada no fundo): zero (assumimos velocidade inicial nula e potencial zero na referência escolhida).
Logo a variação de energia mecânica é
Passo 4
Relacione o trabalho da bomba com a variação de energia e as perdas:
- A bomba realiza trabalho
. - Dessas energia fornecida pela bomba, uma fração de
é dissipada: . - A parte que realmente aumenta a energia mecânica da água é
. - Essa parte útil deve igualar a variação de energia mecânica necessária:
Passo 5
Resolver para o trabalho fornecido pela bomba
e passar para potência média:
- De
obtemos
- Substituindo
do Passo 3:
- A potência média da bomba é trabalho por tempo:
Passo 6
Calcular a potência média da força peso (trabalho da gravidade por tempo):
- A força peso realiza trabalho igual a
ao elevar a água (sinal negativo porque a força peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima). - Portanto a potência média da força peso é
- Observação didática sobre
: o ângulo da saída não altera a energia cinética total (que depende de ) nem o ganho de altura . Assim não aparece nas expressões de energia e potência finais.
Passo 7
Verificação rápida de consistência e sinais:
- A bomba fornece potência positiva (faz trabalho sobre a água).
- A força peso tem potência negativa porque retira energia do sistema quando a partícula sobe (consistente com
). - A correção por perdas faz com que a bomba precise fornecer um fator
a mais do que apenas o ganho de energia mecânica.