h, onde a água está parada, e a ejeta na superfície com velocidade V fazendo um ângulo \theta com a horizontal em um sistema de irrigação. Estima-se que 10 \% (dez por cento) do trabalho da bomba seja gasto para vencer forças dissipativas, como atrito nas partes internas, resistência nos canos, etc. Podem, então, realizar trabalho a bomba, a gravidade e as forças de resistência. Calcule
  1. a potência média necessária, P_{\text {bomba, }} para a bomba levar uma massa M de água desde o ponto onde é captada até fazê-la jorrar com velocidade V na superfície do reservatório, e
  2. a potència média da força peso, P_{\text {peso }} nesse processo.
Dê suas respostas em termos de h, M, g, \theta e T que julgar necessárias:
Escolha uma opção:
    1. P_{\text {bomba }}=\frac{M}{T}\left(\frac{V^{2}}{2}+g h\right)
  1. P_{\mathrm{Peso}}=-\frac{M g h}{T}
    \bigcirc 1. P_{\text {bomba }}=\frac{10 M}{9 T}\left(\frac{V^{2}}{2}+g h\right)
  2. P_{\text {peso }}=\frac{M g h}{T}
    \bigcirc 1. P_{\text {bomba }}=\frac{10 M}{9 T}\left(\frac{(V \cos \theta)^{2}}{2}+g h\right)
  3. P_{\mathrm{peso}}=-\frac{M g h}{T}
    \bigcirc 1. P_{\text {bomba }}=\frac{M}{T}\left(\frac{V^{2}}{2}+g h\right)
  4. P_{\text {peso }}=\frac{10 M g h}{9 T}
    \bigcirc 1. P_{\text {bomba }}=\frac{10 M}{9 T}\left(\frac{V^{2}}{2}+g h\right)
  5. P_{\text {peso }}=-\frac{M g h}{T}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados e condições:
  • Dados: massa de água M que é elevada, profundidade (altura) até a superfície h, velocidade de ejeção na superfície V, ângulo de ejeção \theta com a horizontal, tempo total do processo T, aceleração da gravidade g.
  • Condição importante: 10\% do trabalho realizado pela bomba é perdido em forças dissipativas (atrito, resistência dos canos, etc.).
  • Perguntas:
    1. Calcular a potência média necessária da bomba, P_{\text{bomba}}, para levar a massa M desde o ponto onde é captada até fazê-la jorrar com velocidade V na superfície.
    2. Calcular a potência média da força peso, P_{\text{peso}}, no mesmo processo.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática e intuitiva):
  • Trabalho e energia mecânica: quando a água passa de um estado inicial (parada, a profundidade h) para um estado final (na superfície com velocidade V), sua energia mecânica mudou. Essa variação de energia mecânica \Delta E é a soma do ganho de energia cinética e do ganho de energia potencial gravitacional.
  • Energia cinética de uma massa M com velocidade V é \displaystyle \frac{1}{2} M V^{2}. Aqui V é a velocidade escalar total (não importa a direção).
  • Energia potencial gravitacional ganha ao subir uma altura h é \displaystyle M g h.
  • Potência média é trabalho (ou energia transferida) dividido pelo tempo: \displaystyle P=\frac{W}{T}.
  • Perda por dissipação: se a bomba realiza trabalho W_{\text{bomba}}, 10\% desse trabalho é perdido; portanto a energia útil entregue ao fluido é 90\% de W_{\text{bomba}}.

Passo 3

Calcular a variação total de energia mecânica da água entre estado inicial e final:
  • Energia cinética final: \displaystyle E_{\text{cin}}=\frac{1}{2}M V^{2}.
  • Energia potencial final (referência no ponto de captação): \displaystyle E_{\text{pot}}=M g h.
  • Energia mecânica inicial (água parada no fundo): zero (assumimos velocidade inicial nula e potencial zero na referência escolhida).
    Logo a variação de energia mecânica é
\Delta E = \frac{1}{2}M V^{2} + M g h.

Passo 4

Relacione o trabalho da bomba com a variação de energia e as perdas:
  • A bomba realiza trabalho W_{\text{bomba}}.
  • Dessas energia fornecida pela bomba, uma fração de 10\% é dissipada: W_{\text{diss}}=0{,}1\,W_{\text{bomba}}.
  • A parte que realmente aumenta a energia mecânica da água é W_{\text{bomba}}-W_{\text{diss}} = W_{\text{bomba}} - 0{,}1\,W_{\text{bomba}} = 0{,}9\,W_{\text{bomba}}.
  • Essa parte útil deve igualar a variação de energia mecânica necessária:
0{,}9\,W_{\text{bomba}} = \Delta E.

Passo 5

Resolver para o trabalho fornecido pela bomba W_{\text{bomba}} e passar para potência média:
  • De 0{,}9\,W_{\text{bomba}} = \Delta E obtemos
W_{\text{bomba}} = \frac{\Delta E}{0{,}9} = \frac{10}{9}\,\Delta E.
  • Substituindo \Delta E do Passo 3:
W_{\text{bomba}} = \frac{10}{9}\,M\!\left(\frac{V^{2}}{2} + g h\right).
  • A potência média da bomba é trabalho por tempo:
P_{\text{bomba}} = \frac{W_{\text{bomba}}}{T} = \frac{10M}{9T}\!\left(\frac{V^{2}}{2} + g h\right).

Passo 6

Calcular a potência média da força peso (trabalho da gravidade por tempo):
  • A força peso realiza trabalho igual a -M g h ao elevar a água (sinal negativo porque a força peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima).
  • Portanto a potência média da força peso é
P_{\text{peso}}=\frac{W_{\text{peso}}}{T}=\frac{-M g h}{T}.
  • Observação didática sobre \theta: o ângulo \theta da saída não altera a energia cinética total (que depende de V^{2}) nem o ganho de altura h. Assim \theta não aparece nas expressões de energia e potência finais.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e sinais:
  • A bomba fornece potência positiva (faz trabalho sobre a água).
  • A força peso tem potência negativa porque retira energia do sistema quando a partícula sobe (consistente com P_{\text{peso}}=-M g h/T).
  • A correção por perdas faz com que a bomba precise fornecer um fator 10/9 a mais do que apenas o ganho de energia mecânica.

Resposta

P_{\text{bomba}}=\dfrac{10M}{9T}\!\left(\dfrac{V^{2}}{2}+g h\right)\n
P_{\text{peso}}=-\dfrac{M g h}{T}

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