Uma placa de cortiça de espessura 2 cm e área 5 \mathrm{~cm}^{2} separa dois ambientes cuja diferença de temperatura se mantém constante em 20^{\circ} \mathrm{C}. Sendo 0,00013 \mathrm{cal} / \mathrm{s} \cdot \mathrm{cm} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} o coeficiente de condutibilidade térmica da cortiça, determine o fluxo de calor conduzido através da placa. 6,5.10^{-3} \mathrm{ca} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de calor (taxa de calor por unidade de tempo) conduzido através de uma placa de cortiça que separa dois ambientes com diferença de temperatura constante. Dados fornecidos:
  • espessura da placa: L=2\\ \text{cm};
  • área da placa: A=5\\ \text{cm}^2;
  • diferença de temperatura entre os lados: \Delta T=20^\circ\text{C};
  • condutividade térmica da cortiça: k=0{,}00013\\ \dfrac{\text{cal}}{\text{s}\cdot\text{cm}\cdot^\circ\text{C}}.
    O que se pede: determinar o fluxo de calor conduzido através da placa (em \text{cal/s}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo) e para condução unidimensional através de uma parede plana e homogênea, a lei de Fourier fornece a taxa de transferência de calor:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}.
Explicando cada símbolo:
  • \dot{Q} é o fluxo de calor (taxa de calor) em \text{cal/s};
  • k é a condutividade térmica do material em \dfrac{\text{cal}}{\text{s}\cdot\text{cm}\cdot^\circ\text{C}};
  • A é a área através da qual o calor é transferido em \text{cm}^2;
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces em ^\circ\text{C};
  • L é a espessura da placa em \text{cm}.
    Raciocínio físico: a taxa de calor é proporcional à condutividade (quanto maior k, mais fácil o calor flui), à área (mais área = mais caminho para o calor) e ao gradiente de temperatura \Delta T/L (quanto maior a diferença por unidade de comprimento, mais rápido o calor flui).

Passo 3

Verificação de unidades e preparação para calcular: o quociente \dfrac{\Delta T}{L} tem unidades \dfrac{^\circ\text{C}}{\text{cm}}. Multiplicando k por A e por \dfrac{\Delta T}{L} obtemos:
\left(\dfrac{\text{cal}}{\text{s}\cdot\text{cm}\cdot^\circ\text{C}}\right)\cdot(\text{cm}^2)\cdot\left(\dfrac{^\circ\text{C}}{\text{cm}}\right)=\dfrac{\text{cal}}{\text{s}},
portanto o resultado estará em \text{cal/s}, como desejado.
Agora calculemos o gradiente:
\frac{\Delta T}{L}=\frac{20}{2}=10\\ \dfrac{^\circ\text{C}}{\text{cm}}.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula e efetuando as operações passo a passo:
\dot{Q}=k\,A\,\frac{\Delta T}{L}=0{,}00013\cdot 5\cdot 10.
Calculemos por partes:
5\cdot 10 = 50,
0{,}00013\cdot 50 = 0{,}0065.
Em notação científica isto é
\dot{Q}=6{,}5\times 10^{-3}\\ \text{cal/s}.

Passo 5

Interpretação rápida: o valor \dot{Q}=6{,}5\times 10^{-3}\\ \text{cal/s} significa que, em regime estacionário, cerca de 0{,}0065 calorias de energia térmica são conduzidas pela placa a cada segundo devido à diferença de temperatura de 20^\circ\text{C}. Isso é pequeno porque a cortiça tem condutividade muito baixa (é um bom isolante).

Resposta

6{,}5\times 10^{-3}\\ \text{cal/s}

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