Onde cada função abaixo é descontínua? Justifique sua resposta.
f(x)=ll(2 x+3)(x-1)x-1, & x neq 1 ; 2, & x=1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=(2x+3)(x-1)x-1,&xneq1;2,&x=1
Aqui o conteúdo é continuidade de funções reais. Para estudar onde f é descontínua, vamos usar a definição: f é contínua em a se e somente se limxto af(x)=f(a) e a pertence ao domínio.

Passo 2

Para xneq1 o fator (x-1) no numerador e no denominador se cancelam. Logo, para xneq1
f(x)=2x+3
Como polinômios são contínuos em todo R, concluímos que não há descontinuidade em nenhum ponto xneq1. O único candidato a descontinuidade é x=1.

Passo 3

Agora calculamos o limite de f(x) quando xto1. Usamos a expressão simplificada:
limxto1f(x)=limxto1(2x+3)=2cdot1+3=5
Mas o valor definido em x=1 é f(1)=2. Como
limxto1f(x)=5neq f(1)=2,
falha-se a condição de continuidade em x=1. Essa descontinuidade é do tipo removível, pois bastaria definir f(1)=5 para corrigir.

Passo 4

Portanto, f é contínua em todo R exceto em x=1, onde apresenta uma descontinuidade removível.

Resposta

A função é descontínua apenas em x=1.

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