Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?
f(x)=|x|

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x)=|x| e queremos saber em quais pontos ela é descontínua. O conteúdo é continuidade de funções reais, e vamos precisar da definição de limite e continuidade.

Passo 2

Para verificar a continuidade em um ponto x0 usamos a definição: f é contínua em x0 se limxto x0f(x)=f(x0). Vamos checar isso para todo x0inR.

Passo 3

Considere um ponto x0>=0. Nesse caso, para x perto de x0 temos x>=0 e |x|=x. Assim
limxto x0|x|=limxto x0x=x0=|x0|=f(x0)

Passo 4

Logo é contínua em pontos não negativos.

Passo 5

Considere um ponto x0<0. Nesse caso, para x perto de x0 temos x<0 e |x|=-x. Então
limxto x0|x|=limxto x0(-x)=-x0=|x0|=f(x0)

Passo 6

Logo é contínua em pontos negativos.

Passo 7

Dessa forma mostramos que para todo x0inR vale limxto x0|x|=|x0|, ou seja, f é contínua em todo o domínio.

Resposta

Não há pontos de descontinuidade: a função f(x)=|x| é contínua para todo x∈ℝ.

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