(4) Utilize a regra do produto para derivar:
g(x)=(x^3-2 x)(x^4+x)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função g(x) usando a regra do produto, que faz parte de cálculo diferencial. Vamos precisar da definição de derivada de potências e da regra do produto entre funções.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, definimos duas funções auxiliares f(x) e h(x):
f(x) = x^3 - 2x
h(x) = x^4 + x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de f e h. Lembrando que a derivada de x^n é n x^n-1 e a derivada de a x é a:
f'(x) = 3x^2 - 2
h'(x) = 4x^3 + 1

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: se g(x)=f(x)cdot h(x), então
g'(x) = f'(x)cdot h(x) + f(x)cdot h'(x)
Substituindo as expressões de f, f', h, h':
g'(x) = (3x^2 - 2)(x^4 + x) + (x^3 - 2x)(4x^3 + 1)

Passo 5

Para simplificar, expandimos cada produto e somamos todos os termos sem agrupar ainda:
(3x^2 - 2)(x^4 + x) = 3x^6 + 3x^3 - 2x^4 - 2x
(x^3 - 2x)(4x^3 + 1) = 4x^6 + x^3 - 8x^4 - 2x
Logo,
g'(x) = 3x^6 + 3x^3 - 2x^4 - 2x + 4x^6 + x^3 - 8x^4 - 2x
Na etapa final vamos agrupar termos semelhantes.

Resposta

g’(x)=7x6-10x4+4x^3-4x

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