Se
, onde
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar uma relação entre derivadas parciais de uma função $ u = f(x, y) $ quando mudamos de coordenadas de $ (x, y) $ para $ (s, t) $, onde $ x = e^{s} \cos(t) $ e $ y = e^{s} \sin(t) $. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se $ u = f(x, y) $, então as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ s $ e $ t $ podem ser encontradas usando a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ s $ e $ t $:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão das derivadas parciais de $ u $:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ s $ e $ t $. Primeiro, para $ s $:
Fazendo a derivada, temos:
Passo 6
Fazemos o mesmo para $ t $:
Calculando a derivada:
Passo 7
Somando $ \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}} $ e $ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} $, observamos que os termos mistos (com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $) se cancelam e os termos lineares também:
Passo 8
Sabemos que $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $ é o Laplaciano de $ u $ em coordenadas $ (x, y) $. Pelo que obtivemos:
Resposta
Demonstramos que: