Se u=f(x, y), onde x=e^s cos (t) e y=e^s sin (t), mostre que
partial^2 upartial^2 x^2+partial^2 upartial^2 y^2=e^-2 s[partial^2 upartial^2 s^2+partial^2 upartial^2 t^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar uma relação entre derivadas parciais de uma função $ u = f(x, y) $ quando mudamos de coordenadas de $ (x, y) $ para $ (s, t) $, onde $ x = e^{s} \cos(t) $ e $ y = e^{s} \sin(t) $. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se $ u = f(x, y) $, então as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ s $ e $ t $ podem ser encontradas usando a regra da cadeia:
u = f(x, y)
u

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ s $ e $ t $:
x
y
s
t

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão das derivadas parciais de $ u $:
u
partial upartial s = partial fpartial x cdot e^s cos(t) + partial fpartial y cdot e^s sin(t)

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ s $ e $ t $. Primeiro, para $ s $:
u
Fazendo a derivada, temos:
s

Passo 6

Fazemos o mesmo para $ t $:
t
Calculando a derivada:
partial^2 upartial t^2 = partialpartial t ( partial upartial t )

Passo 7

Somando $ \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}} $ e $ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} $, observamos que os termos mistos (com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $) se cancelam e os termos lineares também:
partial^2 upartial s^2

Passo 8

Sabemos que $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $ é o Laplaciano de $ u $ em coordenadas $ (x, y) $. Pelo que obtivemos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2

Resposta

Demonstramos que:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = e^-2s ( partial^2 upartial s^2 + partial^2 upartial t^2 )

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