Prove que a função polinomial de 2^o grau tem como gráfico uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função polinomial de segundo grau f(x)=ax^2+bx+c, com aneq0, tem gráfico de parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Vamos usar o método de completar o quadrado para reescrever f(x) na forma vértice.

Passo 2

Na teoria das seções cônicas, toda parábola pode ser escrita na forma canônica y=a(x-h)^2+k, cuja linha x=h é o eixo de simetria (uma reta vertical, isto é, paralela ao eixo y). Para chegar a essa forma, aplicamos completar o quadrado em f(x)=ax^2+bx+c.
Fatorando a dos dois primeiros termos e completando o quadrado, temos:
f(x)=al(x^2+ b a xr)+c=al(x^2+ b a x+b^24a^2-b^24a^2r)+c
f(x)=al(x+ b2ar)^2-b^24a+c

Passo 3

Reorganizando, obtemos a forma vértice:
f(x)=al(x-l(-tfrac b2ar)r)^2+l(c-tfracb^24ar)
Dessa expressão segue-se que o vértice é
(h,k)=l(-tfrac b2a,,c-tfracb^24ar) e o eixo de simetria é a reta x=h=-tfrac b2a, uma reta vertical.

Passo 4

Como a reta x=-tfrac b2a é paralela ao eixo y, concluímos que o gráfico de f(x)=ax^2+bx+c é uma parábola com eixo paralelo ao eixo y.

Resposta

O gráfico de f(x)=ax^2+bx+c é uma parábola com vértice em l(-tfrac b2a,,c-tfracb^24ar) e eixo de simetria dado pela reta vertical x=-tfrac b2a, paralela ao eixo y.

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