O enunciado pede para determinar \frac{dz}{dt} no instante t=3, sabendo que z=f(x,y) com x=g(t) e y=h(t). As informações fornecidas são (vou listar exatamente as dadas, em forma matemática):
Observação importante: o enunciado escreveu duas vezes \frac{\partial f}{\partial x}(2,7) com valores diferentes. Isso é incompatível. Para que o problema faça sentido na regra da cadeia (que combina \partial f/\partial x com x'(t) e \partial f/\partial y com y'(t)), vou interpretar que o segundo valor corresponde a
Explicar a regra da cadeia em múltiplas variáveis (o conceito que vamos usar). Se z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então a derivada total de z em relação a t é dada por:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a variação de f quando x muda um pouco e y fica fixo (taxa parcial em relação a x).
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a variação de f quando y muda um pouco e x fica fixo (taxa parcial em relação a y).
\frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as velocidades com que x e y mudam em função de t.
A fórmula soma os efeitos das mudanças em x e em y sobre z. Pense assim: mudança total = (sensibilidade de z a x)×(mudança de x) + (sensibilidade de z a y)×(mudança de y).
Passo 3
Aplicar a fórmula da regra da cadeia ao nosso caso, avaliando tudo no instante t=3. Usando x(t)=g(t) e y(t)=h(t), temos: