Se z=f(x, y), onde f é diferenciável, e
x=g(t), g(3)=2, g^{\prime}(3)=5, \text { е } \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=6е
e
y=h(t), h(3)=7, h^{\prime}(3)=-4, \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=-8
determine \frac{d z}{d t} quando t=3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \frac{dz}{dt} no instante t=3, sabendo que z=f(x,y) com x=g(t) e y=h(t). As informações fornecidas são (vou listar exatamente as dadas, em forma matemática):
g(3)=2,\quad g^{\prime}(3)=5,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=6,
h(3)=7,\quad h^{\prime}(3)=-4,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=-8.
Observação importante: o enunciado escreveu duas vezes \frac{\partial f}{\partial x}(2,7) com valores diferentes. Isso é incompatível. Para que o problema faça sentido na regra da cadeia (que combina \partial f/\partial x com x'(t) e \partial f/\partial y com y'(t)), vou interpretar que o segundo valor corresponde a
\frac{\partial f}{\partial y}(2,7)=-8.
Ou seja, os dados que usarei são:
g(3)=2,\quad g^{\prime}(3)=5,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=6,
h(3)=7,\quad h^{\prime}(3)=-4,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,7)=-8.

Passo 2

Explicar a regra da cadeia em múltiplas variáveis (o conceito que vamos usar). Se z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então a derivada total de z em relação a t é dada por:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\cdot\frac{dy}{dt}.
O que isso significa, em linguagem simples:
  • \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a variação de f quando x muda um pouco e y fica fixo (taxa parcial em relação a x).
  • \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a variação de f quando y muda um pouco e x fica fixo (taxa parcial em relação a y).
  • \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as velocidades com que x e y mudam em função de t.
    A fórmula soma os efeitos das mudanças em x e em y sobre z. Pense assim: mudança total = (sensibilidade de z a x)×(mudança de x) + (sensibilidade de z a y)×(mudança de y).

Passo 3

Aplicar a fórmula da regra da cadeia ao nosso caso, avaliando tudo no instante t=3. Usando x(t)=g(t) e y(t)=h(t), temos:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x,y)=(g(3),h(3))}\cdot g^{\prime}(3) +\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x,y)=(g(3),h(3))}\cdot h^{\prime}(3).
Agora substituímos os valores que temos: g(3)=2, h(3)=7, \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)=6, \frac{\partial f}{\partial y}(2,7)=-8, g^{\prime}(3)=5 e h^{\prime}(3)=-4.

Passo 4

Fazer a substituição numérica passo a passo:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}= \frac{\partial f}{\partial x}(2,7)\cdot g^{\prime}(3) + \frac{\partial f}{\partial y}(2,7)\cdot h^{\prime}(3).
Substituindo os números:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}= 6\cdot 5 + (-8)\cdot (-4).

Passo 5

Calcular as multiplicações e a soma com cuidado (mostrando cada conta):
6\cdot 5 = 30,
(-8)\cdot (-4)=32,
30+32=62.

Resposta

62

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