1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} of milk is heated in a heat exchanger from 45^{\circ} \mathrm{C} to 72^{\circ} \mathrm{C}. Water is used as the heating medium. It enters the heat exchanger at 90^{\circ} \mathrm{C} and leaves at 75^{\circ} \mathrm{C}. Calculate the mass flow rate of the heating medium, if the heat losses to the environment are equal to 1 kW . The heat capacity of water is given equal to 4.2 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} and that of milk 3.9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Vazão mássica do leite: \dot m_{\text{leite}} = \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{kg/s} (dado original 1000\\ \mathrm{kg/h}; converti para \mathrm{kg/s} porque vamos trabalhar com kW).
  • Temperaturas do leite: entrada T_{i,\text{leite}} = 45^{\circ}\mathrm{C} e saída T_{o,\text{leite}} = 72^{\circ}\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica massiva do leite: c_{\text{leite}} = 3,9\\ \mathrm{kJ/(kg\,^{\circ}C)}.
  • Meio de aquecimento: água, com entrada T_{i,\text{água}} = 90^{\circ}\mathrm{C}á e saída T_{o,\text{água}} = 75^{\circ}\mathrm{C}á.
  • Capacidade térmica massiva da água: c_{\text{água}} = 4,2\\ \mathrm{kJ/(kg\,^{\circ}C)}á.
  • Perda de calor para o ambiente: Q_{\text{perda}} = 1\\ \mathrm{kW}.
O que se pede:
  • Calcular a vazão mássica da água aquecedora \dot m_{\text{água}}á. (Podemos apresentar em \mathrm{kg/s} e em \mathrm{kg/h}.)

Passo 2

Comentário sobre unidades e estratégia (sem resolver ainda):
Para fazer balanço de energia usamos a fórmula básica de troca de calor em regime estacionário
\dot Q = \dot m\, c\, \Delta T,
onde:
  • \dot Q é a potência térmica (em \mathrm{kW}, lembrando que 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s});
  • \dot m é a vazão mássica (em \mathrm{kg/s});
  • c é a capacidade térmica massiva (em \mathrm{kJ/(kg\,^{\circ}C)});
  • \Delta T é a diferença de temperatura (em {}^{\circ}\mathrm{C}).
    Vamos calcular a potência necessária para aquecer o leite e então igualar isso à potência cedida pela água menos as perdas (ou, mais direto, potência cedida pela água = potência requerida pelo leite + perdas).

Passo 3

Converter numericamente a vazão do leite e calcular a variação de temperatura do leite:
\dot m_{\text{leite}}=\frac{1000}{3600}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{kg/s}\approx 0,27778\\ \mathrm{kg/s}.
\Delta T_{\text{leite}} = T_{o,\text{leite}}-T_{i,\text{leite}} = 72-45 = 27\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a potência necessária para aquecer o leite usando \dot Q_{\text{leite}}=\dot m_{\text{leite}}\,c_{\text{leite}}\,\Delta T_{\text{leite}}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: c em \mathrm{kJ/(kg\,^{\circ}C)} e \dot m em \mathrm{kg/s} \dot Q em \mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}):
\dot Q_{\text{leite}} = \left(\frac{5}{18}\right)\times 3,9\times 27.
Fazendo as contas:
\left(\frac{5}{18}\right)\times 3,9 = 1,08333\quad\Rightarrow\quad 1,08333\times 27 = 29,25\\ \mathrm{kW}.
Logo a potência absorvida pelo leite é \dot Q_{\text{leite}} = 29,25\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Incluir a perda para o ambiente: a água precisa fornecer a potência para aquecer o leite mais a perda. Assim a potência cedida pela água deve ser
\dot Q_{\text{água}} = \dot Q_{\text{leite}} + Q_{\text{perda}} = 29,25 + 1 = 30,25\\ \mathrm{kW}.á

Passo 6

Expressar a potência cedida pela água em função da vazão mássica da água:
\dot Q_{\text{água}} = \dot m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}\, \Delta T_{\text{água}},áááá
onde \Delta T_{\text{água}} = T_{i,\text{água}} - T_{o,\text{água}} = 90-75 = 15\\ ^{\circ}\mathrm{C}ááá.
Portanto o denominador é
c_{\text{água}}\,\Delta T_{\text{água}} = 4,2\times 15 = 63\\ \mathrm{kJ/kg} = 63\\ \mathrm{kW\,s/kg}.áá

Passo 7

Isolar \dot m_{\text{água}}á e calcular numericamente:
\dot m_{\text{água}} = \frac{\dot Q_{\text{água}}}{c_{\text{água}}\,\Delta T_{\text{água}}} = \frac{30,25}{63}\\ \mathrm{kg/s}.áááá
Fazendo a divisão:
\dot m_{\text{água}} \approx 0,48016\\ \mathrm{kg/s}.á

Passo 8

Converter a vazão para \mathrm{kg/h} (se você preferir comparar com a vazão do leite em \mathrm{kg/h}):
\dot m_{\text{água}} (\mathrm{kg/h}) = 0,48016\times 3600 \approx 1728,57\\ \mathrm{kg/h}.á

Passo 9

Pequeno cheque de consistência (para te dar confiança): a água perde 0,48016\times 4,2\times 15 \approx 30,25\\ \mathrm{kW}, que é exatamente a potência que precisamos fornecer (29,25 kW para o leite mais 1 kW de perda). Tudo consistente.

Resposta

\dot m_{\text{água}} = 0,48016\\ \mathrm{kg/s}á
\dot m_{\text{água}} = 1728,57\\ \mathrm{kg/h}á

Exercícios relacionados