Um instituto afirma que a média de horas semanais de trabalho de servidores públicos municipais é hoje de 40 horas. Após uma reforma administrativa, coletou-se uma amostra de 50 servidores e encontrou-se média de 38 horas, com desvio padrão conhecido de 6 horas. Teste ao nível de
se houve redução significativa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
horas. - Desvio padrão populacional (conhecido):
horas. - Valor hipotético da média segundo o instituto:
horas. - Nível de significância:
.
- Tamanho da amostra:
-
O que o enunciado pede:
- Testar, ao nível de
, se houve redução significativa na média de horas semanais de trabalho após a reforma administrativa. Ou seja, verificar se a média atual é estatisticamente menor que horas.
- Testar, ao nível de
Passo 2
Formular as hipóteses do teste (o enunciado busca redução, então é um teste unilateral à esquerda).
Explicação rápida:
é a hipótese nula (nenhuma mudança, média igual a
) e
é a hipótese alternativa que representa a redução que queremos detectar.
Passo 3
Escolha do teste e fundamento teórico.
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido, o teste apropriado para média é o teste-Z (teste baseado na distribuição normal padrão). - Mesmo que a distribuição original das horas não seja perfeitamente normal, com
podemos usar o Teorema Central do Limite: a média amostral tem distribuição aproximadamente normal para amostras grandes. - Portanto, sob
, a estatística padronizada
tem distribuição aproximadamente
.
Vou explicar a fórmula:
é a média amostral observada,
é a média sob
,
é o desvio padrão populacional e
é o erro padrão da média (isso mede a variabilidade esperada da média amostral).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média e a estatística de teste passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Erro padrão da média:
- Estatística
:
Explicando cada número: a diferença
mostra que a média amostral está 2 horas abaixo do valor hipotético; dividimos essa diferença pelo erro padrão para ver quantos erros padrão essa diferença representa.
Passo 5
Determinar a região crítica e a decisão pelo valor crítico.
- Como o teste é unilateral à esquerda com nível
, o valor crítico da distribuição normal padrão é
porque
.
-
Regra de decisão: rejeitar
se . -
Comparando:
e . Como , temos evidência suficiente para rejeitar .
Passo 6
Cálculo do p-valor e interpretação alternativa.
- O p-valor para um teste unilateral à esquerda é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Com
,
- Interpretação: o p-valor é aproximadamente
, muito menor que , reforçando a decisão de rejeitar . Esse p-valor indica que, sob a hipótese de que a média fosse realmente horas, a probabilidade de observar uma média tão baixa ou mais baixa que horas é cerca de .
Passo 7
Conclusão prática e interpretação em linguagem simples.
- Rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de
. - Conclusão prática: há evidência estatística significativa de que a reforma administrativa está associada a uma redução nas horas semanais médias de trabalho dos servidores municipais (a média parece ser menor que
horas). - Observação amigável: estatisticamente a redução é significativa; em termos práticos, a diferença observada na amostra foi de
horas por semana (de para ). Se for importante, pode-se calcular um intervalo de confiança ou discutir o tamanho do efeito para entender a relevância prática dessa queda.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência significativa de redução da média (
, p-valor
).