Um instituto afirma que a média de horas semanais de trabalho de servidores públicos municipais é hoje de 40 horas. Após uma reforma administrativa, coletou-se uma amostra de 50 servidores e encontrou-se média de 38 horas, com desvio padrão conhecido de 6 horas. Teste ao nível de 5 \% se houve redução significativa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tamanho da amostra: n=50.
    • Média amostral: \bar{x}=38 horas.
    • Desvio padrão populacional (conhecido): \sigma=6 horas.
    • Valor hipotético da média segundo o instituto: \mu_0=40 horas.
    • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • O que o enunciado pede:
    • Testar, ao nível de 5\%, se houve redução significativa na média de horas semanais de trabalho após a reforma administrativa. Ou seja, verificar se a média atual é estatisticamente menor que 40 horas.

Passo 2

Formular as hipóteses do teste (o enunciado busca redução, então é um teste unilateral à esquerda).
H_0: \mu = 40
H_a: \mu < 40
Explicação rápida: H_0 é a hipótese nula (nenhuma mudança, média igual a 40) e H_a é a hipótese alternativa que representa a redução que queremos detectar.

Passo 3

Escolha do teste e fundamento teórico.
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o teste apropriado para média é o teste-Z (teste baseado na distribuição normal padrão).
  • Mesmo que a distribuição original das horas não seja perfeitamente normal, com n=50 podemos usar o Teorema Central do Limite: a média amostral \bar{X} tem distribuição aproximadamente normal para amostras grandes.
  • Portanto, sob H_0, a estatística padronizada
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
tem distribuição aproximadamente \mathcal{N}(0,1).
Vou explicar a fórmula: \bar{X} é a média amostral observada, \mu_0 é a média sob H_0, \sigma é o desvio padrão populacional e \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (isso mede a variabilidade esperada da média amostral).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média e a estatística de teste passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}0711.
  • Erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{50}}\approx \frac{6}{7{,}0711}\approx 0{,}84853.
  • Estatística Z:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{38-40}{0{,}84853}=\frac{-2}{0{,}84853}\approx -2{,}357.
Explicando cada número: a diferença \bar{x}-\mu_0=-2 mostra que a média amostral está 2 horas abaixo do valor hipotético; dividimos essa diferença pelo erro padrão para ver quantos erros padrão essa diferença representa.

Passo 5

Determinar a região crítica e a decisão pelo valor crítico.
  • Como o teste é unilateral à esquerda com nível \alpha=0{,}05, o valor crítico da distribuição normal padrão é
z_{crit} = z_{0{,}05} = -1{,}645,
porque P(Z \le -1{,}645)=0{,}05.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se Z \le z_{crit}.
  • Comparando: Z\approx -2{,}357 e z_{crit}=-1{,}645. Como -2{,}357 < -1{,}645, temos evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 6

Cálculo do p-valor e interpretação alternativa.
  • O p-valor para um teste unilateral à esquerda é
\text{p-valor} = P(Z \le z_{\text{obs}})=\Phi(z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Com z_{\text{obs}}\approx -2{,}357,
\text{p-valor}\approx \Phi(-2{,}357)\approx 0{,}0092.
  • Interpretação: o p-valor é aproximadamente 0{,}0092, muito menor que \alpha=0{,}05, reforçando a decisão de rejeitar H_0. Esse p-valor indica que, sob a hipótese de que a média fosse realmente 40 horas, a probabilidade de observar uma média tão baixa ou mais baixa que 38 horas é cerca de 0{,}92\%.

Passo 7

Conclusão prática e interpretação em linguagem simples.
  • Rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5\%.
  • Conclusão prática: há evidência estatística significativa de que a reforma administrativa está associada a uma redução nas horas semanais médias de trabalho dos servidores municipais (a média parece ser menor que 40 horas).
  • Observação amigável: estatisticamente a redução é significativa; em termos práticos, a diferença observada na amostra foi de 2 horas por semana (de 40 para 38). Se for importante, pode-se calcular um intervalo de confiança ou discutir o tamanho do efeito para entender a relevância prática dessa queda.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência significativa de redução da média ( Z\approx -2{,}357, p-valor \approx 0{,}0092).

Exercícios relacionados