Pesquisadores perceberam que parlamentares de um certo país tendem a se alinhar mais à direita do espectro ideológico do que há 10 anos. A escala de ideologia varia de 1 (extrema esquerda) a 7 (extrema direita). Uma amostra recente de 840 parlamentares apresentou média 4,3 e desvio padrão conhecido de 1,8 . Teste se há evidências, ao nível de
, de que a média atual está maior que a posição de centro (=4).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados da amostra (fornecidos no enunciado):
- tamanho da amostra:
- média amostral:
- desvio padrão populacional conhecido:
- tamanho da amostra:
- Posição de centro (valor sob teste):
- Nível de significância pedido:
- Pergunta que o enunciado faz: testar se há evidências, ao nível de
, de que a média atual é maior que . Ou seja, é um teste de hipótese com direção para a direita.
Passo 2
Formular as hipóteses e explicar o que cada uma significa.
- Hipótese nula (suposição que vamos tentar refutar):
Significado: a média verdadeira da ideologia é (centro). - Hipótese alternativa (o que queremos verificar):
Significado: a média verdadeira é maior que (deslocamento para a direita).
Comentário didático curto sobre níveis de erro: aceitar um resultado como “estatisticamente significativo” ao nível
significa que permitimos até
de probabilidade de cometer um erro tipo I — rejeitar
quando
é verdadeira.
Passo 3
Escolha do teste e fórmula do estatístico (explicação didática).
- Motivação do teste: como o desvio padrão populacional
é conhecido e é grande, o teste apropriado é o teste z para a média. Em provas e na prática, quando é conhecido usa-se o z; quando é desconhecido usa-se o t (especialmente com amostras pequenas). - Fórmula do estatístico z (explicando cada termo):
Onde: -
é a média amostral (aqui ); -
é a média sob a hipótese nula (aqui ); -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
-
Agora calculamos o erro padrão passo a passo:
Calcule
. Aproximando:
logo
Passo 4
Cálculo do estatístico z com as contas mostradas.
- Diferença entre a média amostral e
: - Estatístico z:
Explicação intuitiva: o valor
mede quantos erros-padrão a média amostral está acima de
. Aqui
está cerca de
erros-padrão acima de
, o que é bastante alto.
Passo 5
Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor (mostrar ambos e explicar).
-
Teste é unilateral à direita; o valor crítico para
(cauda superior) é o quantil da Normal padrão tal que . Esse valor é Regra de decisão pelo critério crítico: rejeita-sese .
Aqui, portanto excede largamente o valor crítico. -
Cálculo do p-valor (explicando o que é): o p-valor é
na Normal padrão porque temos hipótese alternativa . Assim A funçãoé a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Para a cauda superior é muito pequena; numericamente (ou seja, cerca de), muito menor que .
Interpretação prática: tanto pelo critério de comparação com o valor crítico quanto pelo p-valor, obtemos forte evidência contra
.
Passo 6
Conclusão final interpretada (linguagem clara e aplicada ao contexto).
- Decisão estatística: rejeita-se
ao nível de significância de . - Interpretação em palavras: há evidências estatísticas, ao nível de
, de que a média de posicionamento ideológico dos parlamentares atualmente é maior que — isto é, que houve um deslocamento para a direita em relação ao centro. - Observação prática: o efeito observado (
na escala de a ) é estatisticamente muito forte aqui porque a amostra é grande; sempre é bom também pensar na magnitude prática do efeito (se é relevante politicamente) além da significância estatística.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidências, ao nível de
, de que a média atual é maior que
.