Pesquisadores perceberam que parlamentares de um certo país tendem a se alinhar mais à direita do espectro ideológico do que há 10 anos. A escala de ideologia varia de 1 (extrema esquerda) a 7 (extrema direita). Uma amostra recente de 840 parlamentares apresentou média 4,3 e desvio padrão conhecido de 1,8 . Teste se há evidências, ao nível de 5 \%, de que a média atual está maior que a posição de centro (=4).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados da amostra (fornecidos no enunciado):
    • tamanho da amostra: n=840
    • média amostral: \bar{x}=4,3
    • desvio padrão populacional conhecido: \sigma=1,8
  • Posição de centro (valor sob teste): \mu_0=4
  • Nível de significância pedido: \alpha=0,05
  • Pergunta que o enunciado faz: testar se há evidências, ao nível de 5\%, de que a média atual é maior que 4. Ou seja, é um teste de hipótese com direção para a direita.

Passo 2

Formular as hipóteses e explicar o que cada uma significa.
  • Hipótese nula (suposição que vamos tentar refutar): H_0:\\ \mu = \mu_0 = 4.Significado: a média verdadeira da ideologia é 4 (centro).
  • Hipótese alternativa (o que queremos verificar): H_1:\\ \mu > 4.Significado: a média verdadeira é maior que 4 (deslocamento para a direita).
Comentário didático curto sobre níveis de erro: aceitar um resultado como “estatisticamente significativo” ao nível \alpha=0,05 significa que permitimos até 5\% de probabilidade de cometer um erro tipo I — rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira.

Passo 3

Escolha do teste e fórmula do estatístico (explicação didática).
  • Motivação do teste: como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e n é grande, o teste apropriado é o teste z para a média. Em provas e na prática, quando \sigma é conhecido usa-se o z; quando \sigma é desconhecido usa-se o t (especialmente com amostras pequenas).
  • Fórmula do estatístico z (explicando cada termo): z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.Onde:
    • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=4,3);
    • \mu_0 é a média sob a hipótese nula (aqui \mu_0=4);
    • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=1,8);
    • n é o tamanho da amostra (aqui n=840);
    • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
Agora calculamos o erro padrão passo a passo:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,8}{\sqrt{840}}.
Calcule \sqrt{840}. Aproximando:
\sqrt{840}\approx 28,98,
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\text{SE}\approx\frac{1,8}{28,98}\approx 0,0621.

Passo 4

Cálculo do estatístico z com as contas mostradas.
  • Diferença entre a média amostral e \mu_0: \bar{x}-\mu_0 = 4,3-4 = 0,3.
  • Estatístico z: z=\frac{0,3}{0,0621}\approx 4,83.
Explicação intuitiva: o valor z mede quantos erros-padrão a média amostral está acima de 4. Aqui \bar{x} está cerca de 4,83 erros-padrão acima de 4, o que é bastante alto.

Passo 5

Decisão pelo valor crítico e pelo p-valor (mostrar ambos e explicar).
  • Teste é unilateral à direita; o valor crítico para \alpha=0,05 (cauda superior) é o quantil da Normal padrão tal que P(Z\le z_{0,95})=0,95. Esse valor é
    z_{0,95}\approx 1,645.
    Regra de decisão pelo critério crítico: rejeita-se H_0 se z>1,645.
    Aqui z\approx 4,83, portanto z excede largamente o valor crítico.
  • Cálculo do p-valor (explicando o que é): o p-valor é P(Z\ge z_{\text{obs}}) na Normal padrão porque temos hipótese alternativa \mu>4. Assim
    \text{p-valor}=1-\Phi(4,83).
    A função \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Para z=4,83 a cauda superior é muito pequena; numericamente
    \text{p-valor}\approx 7\times 10^{-7}
    (ou seja, cerca de 0,0000007), muito menor que \alpha=0,05.
Interpretação prática: tanto pelo critério de comparação com o valor crítico quanto pelo p-valor, obtemos forte evidência contra H_0.

Passo 6

Conclusão final interpretada (linguagem clara e aplicada ao contexto).
  • Decisão estatística: rejeita-se H_0 ao nível de significância de 5\%.
  • Interpretação em palavras: há evidências estatísticas, ao nível de 5\%, de que a média de posicionamento ideológico dos parlamentares atualmente é maior que 4 — isto é, que houve um deslocamento para a direita em relação ao centro.
  • Observação prática: o efeito observado ( +0,3 na escala de 1 a 7) é estatisticamente muito forte aqui porque a amostra é grande; sempre é bom também pensar na magnitude prática do efeito (se 0,3 é relevante politicamente) além da significância estatística.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidências, ao nível de 5\%, de que a média atual é maior que 4.

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