Um ônibus diário de Apucarana para Londrina tem horário de chegada em Londrina às 8:07 da manhã, em todos os dias de semana. A probabilidade de que o ônibus chegue no horário é 0,90. Suponha que 20 dias sejam selecionados aleatoriamente.
a. Ache a probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, exatamente, 10 desses dias.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um ônibus que sai de Apucarana para Londrina todo dia de semana e chega às 8:07 da manhã. A chance dele chegar no horário é de 90% (ou 0,90). Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em 20 dias escolhidos aleatoriamente, o ônibus chegar no horário exatamente 10 desses dias.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial. Esse conceito é útil quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 20 dias), cada tentativa tem dois resultados possíveis (chegar no horário ou não), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa (90%).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula da probabilidade binomial. Precisamos saber:
  • n: o número total de tentativas (dias) – aqui, n = 20.
  • p: a probabilidade de sucesso em cada tentativa (chegar no horário) – aqui, p = 0,90.
  • k: o número de sucessos que queremos (dias que chega no horário) – aqui, k = 10.

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter n - k insucessos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, o coeficiente binomial binom2010:
binom2010 = 20!10! cdot (20 - 10)! = 20!10! cdot 10!
Isso nos dá o número de maneiras de escolher 10 dias com sucesso em 20 dias.

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades:
  • p^k = 0,90^10
  • (1 - p)^n - k = 0,10^10
Multiplicando todos os termos:
P(X = 10) = binom2010 cdot 0,90^10 cdot 0,10^10

Passo 6

Vamos calcular os valores:
  • binom2010 = 184756
  • 0,90^10 approx 0,3487
  • 0,10^10 = 0,0000000001
Multiplicando tudo:
P(X = 10) = 184756 cdot 0,3487 cdot 0,0000000001 approx 0,000006428

Resposta

A probabilidade de que o ônibus chegue no horário exatamente 10 em 20 dias é aproximadamente 0,000643%.

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