Um ônibus urbano está em movimento no instante
quando um passageiro aciona o sinal que solicita a parada no próximo ponto. O veículo estaciona e descem três passageiros, sem que nenhum suba. O ônibus volta a se deslocar e no instante
tem a mesma velocidade que tinha em
. É correto afirmar:
A) Considerando o ônibus e os seus passageiros, a quantidade de movimento no instante
é menor que no instante
.
B) O instante em que o segundo passageiro desce do ônibus é dado pela média entre
e
.
C) A energia cinética total dos passageiros no instante
corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar.
D) A velocidade média do ônibus entre os instantes
e
tem módulo igual à velocidade instantânea que tinha em
.
E) No instante
, os passageiros que ficaram no ônibus podem estar sujeitos à ação de força centrípeta, mesmo que o veículo esteja em movimento uniforme, dependendo da forma da trajetória.
A) Considerando o ônibus e os seus passageiros, a quantidade de movimento no instante
B) O instante em que o segundo passageiro desce do ônibus é dado pela média entre
C) A energia cinética total dos passageiros no instante
D) A velocidade média do ônibus entre os instantes
E) No instante
Passo 1
O enunciado descreve a seguinte situação e pede para analisar as alternativas A–E:
- Em
o ônibus está em movimento com velocidade . - O passageiro aciona o sinal; o ônibus para (estaciona) e descem três passageiros; nenhum embarca.
- O ônibus volta a se deslocar e, em
, tem a mesma velocidade que tinha em . Ou seja, . - As alternativas afirmam coisas sobre quantidade de movimento, instantes de descida, energia cinética, velocidade média e força centrípeta.
O que nos pedem é determinar quais dessas afirmações são corretas dado o descrito acima.
Passo 2
Analisando a alternativa A: “Considerando o ônibus e os seus passageiros, a quantidade de movimento no instante
é menor que no instante
.”
Primeiro revisemos o conceito de quantidade de movimento (momentum). A quantidade de movimento de um corpo é
onde
é a massa total do sistema considerado e
é a velocidade do centro de massa (ou a velocidade comum se todos movem juntos). No módulo, para movimento retilíneo unidimensional,
No instante
considere a massa total do ônibus mais todos os passageiros presentes: chamo-a de
. No instante
três passageiros desceram, então a massa do ônibus com os passageiros restantes é
, com
Como o enunciado diz que a velocidade em
é igual à de
, temos
Logo as quantidades de movimento (módulo) nos instantes são
Como
e
, segue que
. Portanto a afirmação A, que dizia
, é falsa.
Passo 3
Analisando a alternativa B: “O instante em que o segundo passageiro desce do ônibus é dado pela média entre
e
.”
Não há, no enunciado, nenhuma informação sobre os tempos relativos em que cada um dos três passageiros desce durante a parada. A média aritmética de tempos
só seria o instante de descarga do segundo passageiro se explicitamente os três desembarques estivessem uniformemente espaçados no tempo ou se houvesse simetria que justificasse isso. Como o enunciado não dá tal informação, nada nos permite afirmar que o segundo passageiro desceu exatamente em
. Portanto a afirmativa B é falsa (podemos construir contraexemplos triviais: todos descem no início da parada, ou todos no final, etc.).
Passo 4
Analisando a alternativa C: “A energia cinética total dos passageiros no instante
corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar.”
Vamos lembrar a definição de energia cinética de um conjunto de passageiros que se movem com a mesma velocidade
:
onde
é a massa total dos passageiros no instante
.
O Teorema do Trabalho-Energia diz que o trabalho líquido realizado por todas as forças externas sobre um sistema é igual à variação da energia cinética do sistema:
Quando o ônibus é levado de velocidade
até parar (
), a variação de energia cinética do conjunto ônibus+passageiros é negativa e igual a
. Contudo esse trabalho líquido é a soma das contribuições de todas as forças externas: força de atrito dos freios, força de atrito entre pneus e estrada, forças normais internas e reações, eventualmente trabalho do motor (força motriz). Em manobra de parar, o motor geralmente não é o agente que realiza o trabalho que retira energia cinética — normalmente os freios e forças de atrito dissipam a energia (transformando-a em calor). Portanto não é correto afirmar que a energia cinética dos passageiros em
“corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar”: corresponde ao trabalho realizado por todas as forças (neto), e tipicamente o trabalho que reduz a energia é feito por forças de atrito/freio, não pela força motriz. Assim C é falsa.
Passo 5
Analisando a alternativa D: “A velocidade média do ônibus entre os instantes
e
tem módulo igual à velocidade instantânea que tinha em
.”
Definição: a velocidade média vetorial entre
e
é
O módulo de
em geral não precisa ser igual ao módulo da velocidade instantânea
, mesmo que
. Por exemplo, suponha numericamente que
. O ônibus desacelera até parar em
(deslocamento
), fica parado durante
(deslocamento
), e volta a atingir
no 10.º segundo (mais
). Então entre
e
temos
e
, logo
, diferente de
. Portanto D é falsa em geral.
Passo 6
Analisando a alternativa E: “No instante
, os passageiros que ficaram no ônibus podem estar sujeitos à ação de força centrípeta, mesmo que o veículo esteja em movimento uniforme, dependendo da forma da trajetória.”
Conceito de força centrípeta: quando um corpo se movimenta com velocidade de módulo constante mas descrevendo uma trajetória curva, ele possui aceleração centrípeta de módulo
onde
é a velocidade escalar e
é o raio de curvatura da trajetória local. Essa aceleração é dirigida para o centro da curva e exige uma força resultante (a força centrípeta) apontando para o centro. Importante: o movimento pode ser “uniforme” no sentido de módulo da velocidade constante e ainda assim ter aceleração não nula (porque a direção muda).
No problema, em
o ônibus pode estar se deslocando com a mesma velocidade escalar de
e ainda assim estar fazendo curvas (trajetória curva). Nesse caso, os passageiros que permaneceram dentro sofrem aceleração centrípeta e, portanto, há forças laterais (por exemplo atrito entre o corpo do passageiro e o banco/chão do ônibus) que fornecem a força centrípeta. Se, por outro lado, o ônibus estiver viajando em linha reta com velocidade constante, não haverá força centrípeta. A frase da alternativa E usa “podem estar” e “dependendo da forma da trajetória”, o que é exatamente correto: é possível e depende da curvatura da trajetória. Portanto E é verdadeira.
Passo 7
Conclusão: entre as alternativas A–E, apenas a alternativa E é correta. As outras (A, B, C, D) são falsas por razões expostas acima.
Resposta
E)