Um ônibus urbano está em movimento no instante t_{0} quando um passageiro aciona o sinal que solicita a parada no próximo ponto. O veículo estaciona e descem três passageiros, sem que nenhum suba. O ônibus volta a se deslocar e no instante \mathrm{t}_{1} tem a mesma velocidade que tinha em \mathrm{t}_{0}. É correto afirmar:
A) Considerando o ônibus e os seus passageiros, a quantidade de movimento no instante t_{0} é menor que no instante t_{1}.
B) O instante em que o segundo passageiro desce do ônibus é dado pela média entre \mathrm{t}_{0} e \mathrm{t}_{1}.
C) A energia cinética total dos passageiros no instante t_{0} corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar.
D) A velocidade média do ônibus entre os instantes t_{0} e t_{1} tem módulo igual à velocidade instantânea que tinha em \mathrm{t}_{0}.
E) No instante t_{1}, os passageiros que ficaram no ônibus podem estar sujeitos à ação de força centrípeta, mesmo que o veículo esteja em movimento uniforme, dependendo da forma da trajetória.

Passo 1

O enunciado descreve a seguinte situação e pede para analisar as alternativas A–E:
  • Em t_{0} o ônibus está em movimento com velocidade \,v_{0}\,.
  • O passageiro aciona o sinal; o ônibus para (estaciona) e descem três passageiros; nenhum embarca.
  • O ônibus volta a se deslocar e, em t_{1}, tem a mesma velocidade que tinha em t_{0}. Ou seja, \,v_{1}=v_{0}\,.
  • As alternativas afirmam coisas sobre quantidade de movimento, instantes de descida, energia cinética, velocidade média e força centrípeta.
O que nos pedem é determinar quais dessas afirmações são corretas dado o descrito acima.

Passo 2

Analisando a alternativa A: “Considerando o ônibus e os seus passageiros, a quantidade de movimento no instante t_{0} é menor que no instante t_{1}.”
Primeiro revisemos o conceito de quantidade de movimento (momentum). A quantidade de movimento de um corpo é
\mathbf{p}=m\mathbf{v},
onde m é a massa total do sistema considerado e \mathbf{v} é a velocidade do centro de massa (ou a velocidade comum se todos movem juntos). No módulo, para movimento retilíneo unidimensional,
p=mv.
No instante t_{0} considere a massa total do ônibus mais todos os passageiros presentes: chamo-a de m_{0}. No instante t_{1} três passageiros desceram, então a massa do ônibus com os passageiros restantes é m_{1}, com
m_{0}>m_{1}.
Como o enunciado diz que a velocidade em t_{1} é igual à de t_{0}, temos
v_{1}=v_{0}=v.
Logo as quantidades de movimento (módulo) nos instantes são
p_{0}=m_{0}v,\qquad p_{1}=m_{1}v.
Como m_{0}>m_{1} e v>0, segue que p_{0}>p_{1}. Portanto a afirmação A, que dizia p_{0}<p_{1}, é falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa B: “O instante em que o segundo passageiro desce do ônibus é dado pela média entre t_{0} e t_{1}.”
Não há, no enunciado, nenhuma informação sobre os tempos relativos em que cada um dos três passageiros desce durante a parada. A média aritmética de tempos \dfrac{t_{0}+t_{1}}{2} só seria o instante de descarga do segundo passageiro se explicitamente os três desembarques estivessem uniformemente espaçados no tempo ou se houvesse simetria que justificasse isso. Como o enunciado não dá tal informação, nada nos permite afirmar que o segundo passageiro desceu exatamente em \dfrac{t_{0}+t_{1}}{2}. Portanto a afirmativa B é falsa (podemos construir contraexemplos triviais: todos descem no início da parada, ou todos no final, etc.).

Passo 4

Analisando a alternativa C: “A energia cinética total dos passageiros no instante t_{0} corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar.”
Vamos lembrar a definição de energia cinética de um conjunto de passageiros que se movem com a mesma velocidade v_{0}:
K_{\text{pass}}=\sum \tfrac{1}{2} m_i v_{0}^{2}=\tfrac{1}{2} M_{\text{pass}} v_{0}^{2},
onde M_{\text{pass}} é a massa total dos passageiros no instante t_{0}.
O Teorema do Trabalho-Energia diz que o trabalho líquido realizado por todas as forças externas sobre um sistema é igual à variação da energia cinética do sistema:
W_{\text{net}}=\Delta K.
Quando o ônibus é levado de velocidade v_{0} até parar ( v=0), a variação de energia cinética do conjunto ônibus+passageiros é negativa e igual a -\tfrac{1}{2}m_{\text{total}}v_{0}^{2}. Contudo esse trabalho líquido é a soma das contribuições de todas as forças externas: força de atrito dos freios, força de atrito entre pneus e estrada, forças normais internas e reações, eventualmente trabalho do motor (força motriz). Em manobra de parar, o motor geralmente não é o agente que realiza o trabalho que retira energia cinética — normalmente os freios e forças de atrito dissipam a energia (transformando-a em calor). Portanto não é correto afirmar que a energia cinética dos passageiros em t_{0} “corresponde ao valor do trabalho realizado pela força motriz do ônibus até estacionar”: corresponde ao trabalho realizado por todas as forças (neto), e tipicamente o trabalho que reduz a energia é feito por forças de atrito/freio, não pela força motriz. Assim C é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa D: “A velocidade média do ônibus entre os instantes t_{0} e t_{1} tem módulo igual à velocidade instantânea que tinha em t_{0}.”
Definição: a velocidade média vetorial entre t_{0} e t_{1} é
\bar{\mathbf{v}}=\frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{x}(t_{1})-\mathbf{x}(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.
O módulo de \bar{\mathbf{v}} em geral não precisa ser igual ao módulo da velocidade instantânea |\mathbf{v}(t_{0})|, mesmo que |\mathbf{v}(t_{1})|=|\mathbf{v}(t_{0})|. Por exemplo, suponha numericamente que v_{0}=10\\ \mathrm{m/s}. O ônibus desacelera até parar em 1\\ \mathrm{s} (deslocamento 5\\ \mathrm{m}), fica parado durante 8\\ \mathrm{s} (deslocamento 0), e volta a atingir 10\\ \mathrm{m/s} no 10.º segundo (mais 5\\ \mathrm{m}). Então entre t_{0} e t_{1} temos \Delta t=10\\ \mathrm{s} e \Delta x=10\\ \mathrm{m}, logo |\bar{v}|=\Delta x/\Delta t=1\\ \mathrm{m/s}, diferente de 10\\ \mathrm{m/s}. Portanto D é falsa em geral.

Passo 6

Analisando a alternativa E: “No instante t_{1}, os passageiros que ficaram no ônibus podem estar sujeitos à ação de força centrípeta, mesmo que o veículo esteja em movimento uniforme, dependendo da forma da trajetória.”
Conceito de força centrípeta: quando um corpo se movimenta com velocidade de módulo constante mas descrevendo uma trajetória curva, ele possui aceleração centrípeta de módulo
a_{c}=\frac{v^{2}}{R},
onde v é a velocidade escalar e R é o raio de curvatura da trajetória local. Essa aceleração é dirigida para o centro da curva e exige uma força resultante (a força centrípeta) apontando para o centro. Importante: o movimento pode ser “uniforme” no sentido de módulo da velocidade constante e ainda assim ter aceleração não nula (porque a direção muda).
No problema, em t_{1} o ônibus pode estar se deslocando com a mesma velocidade escalar de t_{0} e ainda assim estar fazendo curvas (trajetória curva). Nesse caso, os passageiros que permaneceram dentro sofrem aceleração centrípeta e, portanto, há forças laterais (por exemplo atrito entre o corpo do passageiro e o banco/chão do ônibus) que fornecem a força centrípeta. Se, por outro lado, o ônibus estiver viajando em linha reta com velocidade constante, não haverá força centrípeta. A frase da alternativa E usa “podem estar” e “dependendo da forma da trajetória”, o que é exatamente correto: é possível e depende da curvatura da trajetória. Portanto E é verdadeira.

Passo 7

Conclusão: entre as alternativas A–E, apenas a alternativa E é correta. As outras (A, B, C, D) são falsas por razões expostas acima.

Resposta

E)

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