Questão 3 -
Um carro em uma pista circular, partindo da posição \Theta=0 rad, descreve uma volta completa com velocidade angular constante \omega=2,5 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Tendo retornado ao ponto de partida aciona o freio, e para após percorrer \Delta \Theta=2 \pi \mathrm{rad}. Qual a aceleração angular desse movimento?
A) -4,9 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}
B) 1,3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}
C) -1,3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}
D) 0
E) 4,9 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informações dadas:
    • Partida na posição \Theta=0 rad.
    • O carro descreve uma volta completa com velocidade angular constante \omega=2{,}5\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} (essa é a velocidade imediatamente antes de acionar o freio).
    • Depois de acionar o freio, o carro para ( \omega final igual a zero) após percorrer \Delta \Theta = 2\pi\\ \mathrm{rad}.
  • Pergunta:
    • Qual é a aceleração angular \alpha (assumindo aceleração angular constante durante a frenagem)?

Passo 2

Vamos escolher a equação de cinemática angular apropriada e explicar o que cada símbolo significa. A equação análoga a v_f^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x (do movimento retilíneo) para movimento rotacional é:
\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\Theta.
Aqui:
  • \omega_f é a velocidade angular final (em \mathrm{rad}/\mathrm{s}),
  • \omega_0 é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rad}/\mathrm{s}),
  • \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2),
  • \Delta\Theta é o deslocamento angular durante o intervalo considerado (em \mathrm{rad}).
Essa fórmula vem de integrar duas vezes a aceleração angular constante, ou de aplicar diretamente a analogia com o movimento linear. É válida quando \alpha é constante.

Passo 3

Identificamos os valores numéricos a substituir na fórmula:
  • A velocidade angular inicial (no instante em que se aciona o freio) é \omega_0 = 2{,}5\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • A velocidade angular final, quando o carro para, é \omega_f = 0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • O deslocamento angular durante a frenagem é \Delta\Theta = 2\pi\\ \mathrm{rad}.
Observação sobre sinais: tomamos \Delta\Theta positivo igual a 2\pi porque é o ângulo descrito na mesma direção do movimento; como o carro desacelera até parar, a aceleração angular será negativa (oposta à velocidade).

Passo 4

Agora aplicamos a equação:
\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\Theta.
Substituindo \omega_f=0:
0 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\Theta.
Isolando \alpha:
2\,\alpha\,\Delta\Theta = -\omega_0^2
\alpha = -\dfrac{\omega_0^2}{2\,\Delta\Theta}.

Passo 5

Calculemos numericamente. Primeiro \omega_0^2:
\omega_0^2 = (2{,}5\pi)^2 = 6{,}25\,\pi^2.
E 2\,\Delta\Theta = 2\cdot(2\pi)=4\pi. Portanto
\alpha = -\dfrac{6{,}25\,\pi^2}{4\pi} = -\dfrac{6{,}25\,\pi}{4} = -1{,}5625\,\pi.
Usando \pi \approx 3{,}14159:
\alpha \approx -1{,}5625 \times 3{,}14159 \approx -4{,}9\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor calculado -4{,}9\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2} corresponde à alternativa A.

Resposta

A) -4,9\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}

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