Em uma operação de corte ortogonal, uma ferramenta com 0,250 in de largura tem um ângulo de saída de 5^{\circ}. O torno é ajustado de modo que a espessura do cavaco indeformado é 0,010 \mathrm{in}. Após o corte, a medida da espessura do cavaco deformado é de 0,027 \mathrm{in}. Calcule
o ângulo do plano de cisalhamento.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o ângulo do plano de cisalhamento (denotar por \varphi).
Dados fornecidos:
  • Largura da ferramenta: 0,250\\ \text{in}. (dado do enunciado; não será necessário nos cálculos do ângulo)
  • Ângulo de saída da ferramenta: 5^\circ. (vou usar este valor como o ângulo de inclinação da face da ferramenta, normalmente chamado de ângulo de ataque/rake; tomo \alpha=5^\circ)
  • Espessura do cavaco indeformado (antes do corte): t_1 = 0,010\\ \text{in}.
  • Espessura do cavaco deformado (após o corte): t_2 = 0,027\\ \text{in}.
O que se pede: encontrar \varphi (ângulo do plano de cisalhamento).

Passo 2

Explicando o que é cada variável e a fórmula que vamos usar (aula rápida, passo a passo).
  • t_1 é a espessura do material antes de cortar (cavaco indeformado).
  • t_2 é a espessura do cavaco depois de formar (cavaco deformado).
  • \alpha é o ângulo de saída (rake angle) da ferramenta; aqui \alpha=5^\circ.
  • \varphi é o ângulo do plano de cisalhamento que queremos achar.
Na teoria do corte ortogonal existe uma relação geométrica entre a razão de espessuras r = \dfrac{t_1}{t_2}, o ângulo de cisalhamento \varphi e o ângulo de rake \alpha. Essa relação é
r = \frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Vou explicar rapidamente de onde vem (sem entrar em muitos detalhes geométricos): ao projetar as espessuras sobre os triângulos geométricos formados pelo plano de cisalhamento e pela face da ferramenta obtém-se essa expressão que relaciona as componentes trigonométricas de \varphi e \alpha.

Passo 3

Isolar \varphi a partir da equação dada (álgebra passo a passo). Partimos de
r = \frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Substituindo \sin(\varphi-\alpha)=\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha, obtemos
r\big(\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha\big)=\cos\varphi.
Distribuindo:
r\cos\alpha\sin\varphi - r\sin\alpha\cos\varphi = \cos\varphi.
Colocando os termos com \cos\varphi no mesmo lado:
r\cos\alpha\sin\varphi = \cos\varphi\big(1 + r\sin\alpha\big).
Dividindo ambos os lados por \cos\varphi (assumindo \cos\varphi\neq0) e por r\cos\alpha:
\tan\varphi = \frac{1 + r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.
Essa forma é prática porque nos dá \varphi=\arctan(\cdot) diretamente.

Passo 4

Substituir os valores numéricos. Primeiro calcule r:
r = \frac{t_1}{t_2} = \frac{0,010}{0,027} = \frac{10}{27}.
Usando a fórmula obtida:
\tan\varphi = \frac{1 + r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.
Para simplificar a conta, multiplicar numerador e denominador por 27 (pois r=10/27) dá uma forma equivalente:
\tan\varphi = \frac{27 + 10\sin\alpha}{10\cos\alpha}.

Passo 5

Calcular as funções trigonométricas de \alpha=5^\circ e avaliar a razão:
  • \sin 5^\circ \approx 0,0871557427.
  • \cos 5^\circ \approx 0,9961946981.
Agora o numerador e denominador:
27 + 10\sin 5^\circ \approx 27 + 10\cdot 0,0871557427 = 27,8715574275,
10\cos 5^\circ \approx 10\cdot 0,9961946981 = 9,9619469810.
Logo
\tan\varphi \approx \frac{27,8715574275}{9,9619469810} \approx 2,7978.

Passo 6

Obter \varphi aplicando arco-tangente:
\varphi = \arctan(2,7978) \approx 70,3^\circ.
Interpretação: o ângulo do plano de cisalhamento é aproximadamente 70,3^\circ medido a partir da superfície de referência usada no modelo (a mesma referência do \alpha).

Resposta

\varphi \approx 70,3^\circ

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