A operação de produto entre vetores é diferente da operação de produto entre escalares (números)? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se “a operação de produto entre vetores é diferente da operação de produto entre escalares (números)” e pede uma explicação. O conteúdo aqui é Álgebra Vetorial: vamos comparar o produto de números comuns com os produtos que podemos definir entre vetores.
Passo 2
Antes de falar de vetores, convém lembrar o produto entre escalares. Dados dois números e , seu produto é
é fechado em , associativo, com elemento neutro e distribui sobre a soma. O resultado é sempre um número (escalar).
Passo 3
Entre vetores podemos definir o produto interno (ou escalar). Se e , então
Esse produto retorna um escalar, satisfaz e está ligado geometricamente ao ângulo entre eles:
Passo 4
Em existe também o produto vetorial, que para e produz um novo vetor perpendicular aos dois. A definição via determinante é
Esse produto não é comutativo:
utimes v=-,(vtimes u),
e seu módulo vale |u||v|sintheta, onde theta é o ângulo entre eles.
Passo 5
Comparando: o produto de escalares devolve um número, é sempre comutativo e interno em R. Já entre vetores há pelo menos duas operações distintas (interna e vetorial), com propriedades e resultados diferentes (escalar ou vetor, comutativo ou não). Portanto, sim: o “produto entre vetores” é diferente do produto usual de números, pois precisa ser definido de maneiras distintas e gera resultados com natureza diferente.
Resposta
Sim. Entre escalares existe apenas o produto usual, comutativo e de resultado também escalar. Entre vetores há pelo menos dois “produtos” diferentes:
(a) o produto interno, que retorna um escalar e é comutativo,
(b) o produto vetorial (em R^3), que retorna um vetor perpendicular e não é comutativo.