A operação de produto entre vetores é diferente da operação de produto entre escalares (números)? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se “a operação de produto entre vetores é diferente da operação de produto entre escalares (números)” e pede uma explicação. O conteúdo aqui é Álgebra Vetorial: vamos comparar o produto de números comuns com os produtos que podemos definir entre vetores.

Passo 2

Antes de falar de vetores, convém lembrar o produto entre escalares. Dados dois números a e b, seu produto acdot b é
acdot b=bcdot a,
é fechado em R, associativo, com elemento neutro 1 e distribui sobre a soma. O resultado é sempre um número (escalar).

Passo 3

Entre vetores podemos definir o produto interno (ou escalar). Se u=(u1,u2,dots,un) e v=(v1,v2,dots,vn), então
ucdot v=sumi=1^nui,vi
Esse produto retorna um escalar, satisfaz ucdot v=vcdot u e está ligado geometricamente ao ângulo theta entre eles:
ucdot v=|u|;|v|costheta

Passo 4

Em R^3 existe também o produto vetorial, que para u e v produz um novo vetor utimes v perpendicular aos dois. A definição via determinante é
utimes v = i&j&k u1&u2&u3 v1&v2&v3
Esse produto não é comutativo:
utimes v=-,(vtimes u),
e seu módulo vale |u||v|sintheta, onde theta é o ângulo entre eles.

Passo 5

Comparando: o produto de escalares devolve um número, é sempre comutativo e interno em R. Já entre vetores há pelo menos duas operações distintas (interna e vetorial), com propriedades e resultados diferentes (escalar ou vetor, comutativo ou não). Portanto, sim: o “produto entre vetores” é diferente do produto usual de números, pois precisa ser definido de maneiras distintas e gera resultados com natureza diferente.

Resposta

Sim. Entre escalares existe apenas o produto usual, comutativo e de resultado também escalar. Entre vetores há pelo menos dois “produtos” diferentes:
(a) o produto interno, que retorna um escalar e é comutativo,
(b) o produto vetorial (em R^3), que retorna um vetor perpendicular e não é comutativo.

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